Question

我有两种语言：

A = { <M, w> | M accepts w after running for at most 2^500 steps }
B = { <M, w, 1^t> | M accepts w after running for at most t steps }

我需要弄清楚这些语言是否属于P类。我知道如果它在聚合时间运行，那么语言就属于P类。我很确定语言A是以指数时间运行的，但是我不太确定像2 ^ 500这样的常量是否会使它成为多时间。

感谢任何帮助，谢谢！

Answer 1

算法时间表示为输入大小的函数。如果，对于任何输入，A需要2 ^ 500步，那么它实际上是恒定时间（无论输入是什么，运行时间是恒定的），这肯定是在P.

B需要t步，其中t可能是输入的大小，因此它是线性时间（时间随输入大小线性增加），也在P中。

如果您遇到需要的问题，例如2 ^ t步或t！（阶乘）步骤，然后它不在P.查找Big O表示法

Answer 2

语言在 P 中，如果存在算法，则可以决定给定输入是否属于该语言并以多项式时间运行。多项式时间，意味着您可以在输入的长度中找到多项式函数的上限。

解决你的例子：

将算法AL₁定义为：
对于元素<M,w>运行M(w)。

由于M(w)最多采用一个常数c = 2⁵⁰⁰步，因此AL₁的复杂度受一个常数来限制，这是一个多项式。 AL₁ ∈ O(1)。因此A位于 P 。
将算法AL₂定义为：
对于元素<M,w,1^t>运行M(w,1^t)。

由于M(w,1^t)最多需要t步，因此我们必须将输入长度和t放在一起。请注意，输入包含w和1^t。 1^t表示数字t作为一元输入（例如1⁵= 11111 1 = 5 10）。这对输入长度很重要。例如。 1²⁵⁶的长度为256，但256 = 2⁸的长度仅为二进制8 = log₂(256)。因此输入长度为len(w) + t且AL₂ ∈ O(t)成立。因此AL₂的复杂性也受到多项式的限制，因此语言B位于 P 。

让我添加一个例子来表明haw重要的是它在一元和其他数字系统之间存在差异。

C = { <M, w, t> | M accepts w after running for at most t steps }

C基本上与B类似，但t不在一元数字系统中，因此t的长度为log_c(t)。对数的基础c无关紧要，因为它只会产生一个常数因子。

输入长度现在为len(w) + log(t)，因此O(t)在输入长度中不是必需的多项式。假设len(w)是一个常数（为了简化），那么t = c^log_c(t)在输入长度中是指数的，因此C P < /强>