Question

我正在浏览库Q_denumerable.v中的代码QArithSternBrocot，这就是我遇到的情况。

Fixpoint positive_to_Qpositive_i (p:positive) : Qpositive := 
   match p with 
   | xI p => nR (positive_to_Qpositive_i p)
   | xO p => dL (positive_to_Qpositive_i p)
   | xH => One
   end.

nR和dL的含义是什么？

Answer 1

库名称和文档引用Stern-Brocot tree，但实际上编码是名为Calkin-Wilf tree的变体。 One是树的根，即数字1，构造函数nR和dL表示两个子项：if w表示p / q（带p和q互质，即理性是不可简化的形式）然后nR w代表（（p + q）/ q）和dL w代表（p /（p + q））。函数Qpositive_i计算Qpositive值的（分子，分母）表示。

函数positive_to_Qpositive_i计算以二进制表示法给出的正整数的Calkin-Wilf表示。

Answer 2

nR和nL是Qpositive类型的构造函数，其definition是：

Inductive Qpositive : Set :=
  | nR : Qpositive → Qpositive
  | dL : Qpositive → Qpositive
  | One : Qpositive.

根据我的理解，我们的想法是，如果某些x : Qpositive表示正有理数p / q，则dL x代表p / (p + q)，而nR x代表(p + q) / q。你可以看看，例如在Qpositive_i函数：对于每个x : Qpositive，它会为您提供自然数p和q，以便x代表p / q。

在这个表示法中弄清楚如何表示给定的正有理数并不太难（这是同一个文件中的Qpositive_c函数似乎在做什么）。例如，以下是您如何表示5 / 8（使用非正式的Coq语法）：

5 / 8
= 5 / (5 + 3) = dL (5 / 3)
= dL ((2 + 3) / 3) = dL (nR (2 / 3))
= dL (nR (2 / (2 + 1))) = dL (nR (dL (2 / 1)))
= dL (nR (dL ((1 + 1) / 1))) = dL (nR (dL (nR (1 / 1))))
= dL (nR (dL (nR One)))

因此，顾名思义，positive_to_Qpositive_i函数是positive和Qpositive类型之间的同构。两种类型都具有基本相同的构造函数集，但名称不同，因此函数只需要在两个声明之间进行转换。

QArithSternBrocot库中的positive_to_Qpositive_i有什么作用？

2 个答案: