Question

计算从点到3D三角形的最小距离的一种显而易见的方法是将点投影到三角形的平面上，确定结果点的重心坐标，并使用它们来确定投影点是否位于三角形。如果没有，将其重心坐标夹在[0,1]范围内，这样就可以得到三角形内最近的点。

有没有办法加快速度或以某种方式简化它？

Answer 1

有不同的方法可以找到从点P0到三角形P1，P2，P3的距离。

3D方法。将点投影到三角形平面上，并使用重心坐标或其他方法找到三角形中的最近点。距离以通常的方式找到。
2D方法。对点应用平移/旋转，使P1在原点上，P2在z轴上，P3在yz平面上。投影是P0是微不足道的（忽略x坐标）。这导致2D问题。使用边缘方程，可以确定三角形的最近顶点或边缘。然后计算距离很容易。

这个paper将两者的表现与获胜的2D方法进行了比较。

Answer 2

假设您正在使用其中一种已知的快速算法，加速它的唯一方法是在很多三角形上进行大量测量。在这种情况下，您可以在“边缘”或“缠绕”结构中预先计算大量数量。您可以存储由边缘结构组成的网格，而不是存储3个点。然后投影变得非常快，并且可以编码重心测试，以便它们可预测分支。

真正的关键是将所有内容保存在缓存中。处理器可以在近1个时钟周期内完成MUL和DIV，因此内存通常是瓶颈。

另外，考虑在 SSE3 或类似的东西（例如Mono's SIMD support）中编写算法。它是有效的，但如果你认真思考它，你通常可以一次做几个三角形。

我会尝试找一些关于这个主题的论文，但你可能想要谷歌“Ray Mesh Intersection”。当人们努力优化这些东西时，这将带来80年代和90年代的所有伟大工作。

Answer 3

我会带着我的测试用例结果。

测试用例代码和实现在C＃

中

    public void ClosestPointToShouldWork()
    {
        var r = new Random(0);
        double next() => r.NextDouble() * 5 - 1;
        var t = new Triangle(new Vector3(0,0,0), new Vector3(3.5,2,0), new Vector3(3,0.0,0));

        DrawTriangle(t);

        var hash = new Vector3( 0, 0, 0 );
        for (int i = 0; i < 800; i++)
        {
            var pt = new Vector3( next(), next(), 0 );
            var pc = t.ClosestPointTo( pt );
            hash += pc;

            DrawLine(pc,pt);
        }

        // Test the hash
        // If it doesn't match then eyeball the visualization
        // and see what has gone wrong

        hash.ShouldBeApproximately( new Vector3(1496.28118561104,618.196568578824,0),1e-5  );

    }

实现代码非常繁琐，因为我有许多框架类。希望您可以将其视为伪代码并提取算法。原始矢量类型来自https://www.nuget.org/packages/System.DoubleNumerics/。

请注意，可以缓存Triangle的某些属性以提高性能。

请注意，返回最近的点不需要任何平方根，也不需要将问题转换为2D。

该算法首先快速测试测试点是否最接近终点区域。如果这是不确定的，那么它将逐个测试边缘外部区域。如果那些测试失败，则该点在三角形内。请注意，对于远离三角形的随机选择点，最接近的点很可能是三角形的角点。

public class Triangle
{
    public Vector3 A => EdgeAb.A;
    public Vector3 B => EdgeBc.A;
    public Vector3 C => EdgeCa.A;

    public readonly Edge3 EdgeAb;
    public readonly Edge3 EdgeBc;
    public readonly Edge3 EdgeCa;

    public Triangle(Vector3 a, Vector3 b, Vector3 c)
    {
        EdgeAb = new Edge3( a, b );
        EdgeBc = new Edge3( b, c );
        EdgeCa = new Edge3( c, a );
        TriNorm = Vector3.Cross(a - b, a - c);
    }

    public Vector3[] Verticies => new[] {A, B, C};

    public readonly Vector3 TriNorm;

    private static readonly RangeDouble ZeroToOne = new RangeDouble(0,1);

    public Plane TriPlane => new Plane(A, TriNorm);

    // The below three could be pre-calculated to
    // trade off space vs time

    public Plane PlaneAb => new Plane(EdgeAb.A, Vector3.Cross(TriNorm, EdgeAb.Delta  ));
    public Plane PlaneBc => new Plane(EdgeBc.A, Vector3.Cross(TriNorm, EdgeBc.Delta  ));
    public Plane PlaneCa => new Plane(EdgeCa.A, Vector3.Cross(TriNorm, EdgeCa.Delta  ));

    public static readonly  RangeDouble Zero1 = new RangeDouble(0,1);

    public Vector3 ClosestPointTo(Vector3 p)
    {
        // Find the projection of the point onto the edge

        var uab = EdgeAb.Project( p );
        var uca = EdgeCa.Project( p );

        if (uca > 1 && uab < 0)
            return A;

        var ubc = EdgeBc.Project( p );

        if (uab > 1 && ubc < 0)
            return B;

        if (ubc > 1 && uca < 0)
            return C;

        if (ZeroToOne.Contains( uab ) && !PlaneAb.IsAbove( p ))
            return EdgeAb.PointAt( uab );

        if (ZeroToOne.Contains( ubc ) && !PlaneBc.IsAbove( p ))
            return EdgeBc.PointAt( ubc );

        if (ZeroToOne.Contains( uca ) && !PlaneCa.IsAbove( p ))
            return EdgeCa.PointAt( uca );

        // The closest point is in the triangle so 
        // project to the plane to find it
        return TriPlane.Project( p );

    }
}

边缘结构

public struct Edge3
{

    public readonly Vector3 A;
    public readonly Vector3 B;
    public readonly Vector3 Delta;

    public Edge3(Vector3 a, Vector3 b)
    {
        A = a;
        B = b;
        Delta = b -a;
    }

    public Vector3 PointAt(double t) => A + t * Delta;
    public double LengthSquared => Delta.LengthSquared();

    public double Project(Vector3 p) => (p - A).Dot( Delta ) / LengthSquared;

}

和飞机结构

public struct Plane
{
    public Vector3 Point;
    public Vector3 Direction;

    public Plane(Vector3 point, Vector3 direction )
    {
            Point = point;
            Direction = direction;
    }

    public bool IsAbove(Vector3 q) => Direction.Dot(q - Point) > 0;

}

Answer 4

我认为重心坐标方法本身并不能大大加快，但是如果您要针对同一个三角形测试许多点，则可以预先计算一些内容。

以下是我基于this answer和this post（基于《 实时碰撞检测》一书）编写的一些用于计算此投影的健壮代码。

请注意，您可以预先计算不直接或间接依赖于p的任何内容（如果您多次重复使用相同的三角形，则可以节省每次测试大约一半的计算工作）。

如果点null在三角形平面上的正交投影不在三角形内，则该代码设计为返回p。如果重心坐标超出范围，可以通过计算投影点在三角形的每个边沿向量上的投影，然后检查投影是否在任意一对对角线内，来扩展它以找到三角形边缘上的最近点。三角形的顶点。（否则，拐角顶点将是最接近的点。）但是，出于我的目的，我只想要正交投影，这就是为什么如果正交投影不在三角形内的话，此代码将返回null。

代码是使用JOML线性代数库的Java语言。

/**
 * Find the closest orthogonal projection of a point p onto a triangle given by three vertices
 * a, b and c. Returns either the projection point, or null if the projection is not within
 * the triangle.
 */
public static Vector3d closestPoint(Vector3d p, Vector3d a, Vector3d b, Vector3d c) {
    // Find the normal to the plane: n = (b - a) x (c - a)
    Vector3d n = b.sub(a, new Vector3d()).cross(c.sub(a, new Vector3d()));

    // Normalize normal vector
    double nLen = n.length();
    if (nLen < 1.0e-30) {
        return null;  // Triangle is degenerate
    } else {
        n.mul(1.0f / nLen);
    }

    //    Project point p onto the plane spanned by a->b and a->c.
    //
    //    Given a plane
    //
    //        a : point on plane
    //        n : *unit* normal to plane
    //
    //    Then the *signed* distance from point p to the plane
    //    (in the direction of the normal) is
    //
    //        dist = p . n - a . n
    //
    double dist = p.dot(n) - a.dot(n);

    // Project p onto the plane by stepping the distance from p to the plane
    // in the direction opposite the normal: proj = p - dist * n
    Vector3d proj = p.add(n.mul(-dist, new Vector3d()), new Vector3d());

    // Find out if the projected point falls within the triangle -- see:
    // http://blackpawn.com/texts/pointinpoly/default.html

    // Compute edge vectors        
    double v0x = c.x - a.x;
    double v0y = c.y - a.y;
    double v0z = c.z - a.z;
    double v1x = b.x - a.x;
    double v1y = b.y - a.y;
    double v1z = b.z - a.z;
    double v2x = proj.x - a.x;
    double v2y = proj.y - a.y;
    double v2z = proj.z - a.z;

    // Compute dot products
    double dot00 = v0x * v0x + v0y * v0y + v0z * v0z;
    double dot01 = v0x * v1x + v0y * v1y + v0z * v1z;
    double dot02 = v0x * v2x + v0y * v2y + v0z * v2z;
    double dot11 = v1x * v1x + v1y * v1y + v1z * v1z;
    double dot12 = v1x * v2x + v1y * v2y + v1z * v2z;

    // Compute barycentric coordinates (u, v) of projection point
    double denom = (dot00 * dot11 - dot01 * dot01);
    if (Math.abs(denom) < 1.0e-30) {
        return null; // Triangle is degenerate
    }
    double invDenom = 1.0 / denom;
    double u = (dot11 * dot02 - dot01 * dot12) * invDenom;
    double v = (dot00 * dot12 - dot01 * dot02) * invDenom;

    // Check barycentric coordinates
    if ((u >= 0) && (v >= 0) && (u + v < 1)) {
        // Nearest orthogonal projection point is in triangle
        return proj;
    } else {
        // Nearest orthogonal projection point is outside triangle
        return null;
    }
}

在3D中计算点到三角距离的最快方法？

4 个答案: