我们得到一个无向，加权和连通图G，（没有负权重，所有权重都是不同的），该图上任意两个顶点之间的最短路径位于最小生成树上。 然后：
I）图G是树。
II）每个{u，v}边缘的重量至少等于最重的边缘 从u到v的最短路径。
III）任意两个顶点之间的最短路径u，v是唯一的。
IV）假设从顶点
s，Prime（用于计算MST）和Dijkstra（用于计算最短路径）开始，处理并添加 顶点到树中，具有相同的顺序。 （两种算法在处理和添加节点时的顺序相同）
请解释一下，为什么只有两个声明是正确的？我对我们TA提出的定义感到困惑。
答案 0 :(得分：3)
让G=(V,E,w)成为具有以下属性的加权图。
w(e)>=0的{li> e in E和w(e1) != w(e2)的每个e1,e2 in E的{{1}}。
对于每个e1 != e2，对于a,b in V中从p到a的每条最短路径b，都存在最小生成树{{1 } G，T中包含G。
请注意，属性2在要求中没有明确说明，但根据我的理解，这就是OP的含义，因为其他解释实际上没有意义：如果对于任何一对顶点{ {1}}和p，它们之间有两条最短路径T和a，它们不能包含在同一个最小生成树中，因为它们会形成一个循环。同样，如果b和p1之间的路径p2最短，则不一定存在包含p的最小生成树。
然后，陈述I）和陈述不一定是真的，但陈述II）和陈述是真的。
对于陈述I），请考虑以下反例。让a与b，p和
G:=(V,E,w)请注意，所有边权重均为正且不同，因此满足上面的属性1。此外，边V:={1,2,3}和E:={{1,2},{1,3},{2,3}}构成w({1,2}):=1,
w({1,3}):=2,
w({2,3}):=4.
的唯一最小生成树{1,2}。最后，从{1,3}到T的唯一最短路径是G，从1到2的唯一最短路径是{1,2}，从1到3的最短路径是{1,3}。所有这些路径都包含在2中。但是，3包含循环{2,1}{1,3}，因此它不是树。
对于陈述II），请T。让G成为{1,2},{2,3},{3,1}中从u,v in V到p的最短路径。假设u小于v中最大权重的边缘。然后，G是w({u,v})中p到{u,v}的路径，其权重小于u的总权重，且必须大于v因为所有边权重都是正数。这意味着G不是p中从w({u,v})到p的最短路径，这是一个矛盾。
对于陈述III），请注意最小生成树是唯一确定的;这是从Prim算法的工作原理得出的，因为来自上面的属性1的不同边缘权重使得最轻边缘的选择具有确定性。或者，可以通过争论每个生成树必须包含最小权重u的边缘来归纳地看到这一点。总的来说，由于唯一确定了最小生成树v，因此每G G只能有一条从T到u的最短路径，因为每条最短路径必须包含在v中。如果存在两条这样的路径，G有一个循环，情况并非如此。
对于陈述IV），请考虑以下反例。让u,v in V位于T，T和
G:=(V,E,w)假设Prim和Dijkstra从节点V:={1,2,3,4}开始。然后，边E:={{1,2},{1,3},{2,3},{2,4},{3,4}}构成唯一确定的最小生成树w({1,2}):=01,
w({1,3}):=04,
w({2,3}):=10,
w({2,4}):=03,
w({3,4}):=09.
，它由Prim在序列1中生成。
路径{1,2},{2,3},{3,4}是从T到1,2,4,3的唯一最短路径，{1,2}是从1到2的唯一最短路径; {1,3}是从1到3的唯一最短路径，{1,2}{2,4}是从1到4的唯一最短路径。此外，{4,2}{2,1}{1,3}是从4到3的唯一最短路径，而{2,3}是从2到3的唯一最短路径。总的来说，{2,1}{1,4}具有上面的属性1和2。
Dijkstra的选择可以按如下方式进行，其中2表示无穷大。
4总的来说，所选节点的序列是G，它与Prim生成的序列不同。
答案 1 :(得分：1)
我同意Codor的说法，声明I不一定是真的，声明II是真的。 Codor对陈述I和II的证明是正确的。但是，我认为陈述III并不一定正确，陈述IV也是如此。
对于陈述III，有一个反例： 有3个顶点A，B和C.有3个边（A，B），（B，C）和（A，C），其权重分别为1,2和3。最小生成树包括边（A，B）和（B，C）。但是，A和C之间的最短路径不是唯一的：（i）（A，B），（B，C）或（ii）（A，C）
陈述IV是正确的。这可以通过数学归纳证明。