使用sqrt和floor时的逼近错误

Question

我必须列举一个等式的解，我知道y < x *( sqrt(n) - 1 )，其中 x ， y 和 n 是整数。

我天真的做法是寻找 y 小于或等于floor( x * ( sqrt( (float)n ) - 1 ) )。

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• 我应该担心近似误差吗？

• 例如，如果我的表达式有点大于整数 m ，我应该担心最后会得到 m-1 吗？ / p>

• 我怎么能发现这样的错误？

Answer 1

你绝对应该担心近似误差，但是担心的程度取决于你所关注的 x 和 n 的值范围。

IEEE 4字节浮点表示中的计算大致在2 ^ 23到2 ^ 24的一个部分的顺序上有错误;对于8字节的表示（即，double），它将大致是2 ^ 52到2 ^ 53中的一部分。您可能希望使用double而不是float来获得32位整数 x 和 n ，即使double也不足以支持64位整数。

作为示例，请考虑代码：

template <typename F,typename V>
F approxub(V x,V n) {
    return std::floor(x*std::sqrt(F(n))-x);
}

uint64_t n=1000000002000000000ull; // (10^9 + 1)^2 - 1
uint64_t x=3;
uint64_t y=approxub<double>(x,n);

这给出的值 y = 3000000000，但正确的值是2999999999。

当 x 很大且 n 很小时更糟糕的是：大的64位整数在IEEE double中无法准确表示：

uint64_t n=9;
uint64_t x=5000000000000001111; // 5e18 + 1111
uint64_t y=approxlb<double>(x,n);

y的正确值（将 n 是一个完美的正方形的问题放在一边 - 在这种情况下，真正的上限将减少一个）是2 x = 10000000000000002222，即1e19 + 2222.计算出的 y 是10000000000000004096。

避免浮点近似值

假设你有一个函数isqrt，它精确地计算了整数平方根的整数部分。然后你可以说

y = isqrt(x*x*n) - x

如果产品x*x*n适合你的整数类型，那么你将有一个精确的上限（或者如果 n 是一个完美的正方形，则会比上限多一个。）编写isqrt函数的方法不止一种;这是基于material at code codex：

的示例实现

template <typename V>
V isqrt(V v) {
    if (v<0) return 0;

    typedef typename std::make_unsigned<V>::type U;
    U u=v,r=0;

    constexpr int ubits=std::numeric_limits<U>::digits;
    U place=U(1)<<(2*((ubits-1)/2));

    while (place>u) place/=4;
    while (place) {
        if (u>=r+place) {
            u-=r+place;
            r+=2*place;
        }
        r/=2;
        place/=4;
    }
    return (V)r;
}

如果 x 太大，该怎么办？例如，如果我们最大的整数类型具有64位，并且 x 大于2 ^ 32。最直接的解决方案是进行二进制搜索，将 xr - x 和 xr 作为边界，其中 r = [√ n ]是整数平方根。