找到给定源和一组目标之间的最短路径

Question

您将获得一个加权连通图（20个节点），所有边都具有正权重。我们有一个从A点开始的机器人，例如必须在B，D和E点通过。我们的想法是找到连接所有这4个点的最短路径。机器人也有一个有限的电池，但它可以在某些点充电。

在互联网上进行研究后，我有两种算法： Dijkstra 和 TSP 。 Dijkstra 将找到节点与其他每个节点之间的最短路径， TSP 将找到连接所有点的最短路径。是否只有 TSP 的变体才能找到一组节点之间的最短路径？毕竟，在 TSP 中，所有节点都标记为“必须通过”。我还没有考虑电池限制。

提前致谢！

Answer 1

您可以将图形缩减为TSP，然后在其上调用TSP算法：

1. 使用Floyd-Warshall算法查找所有顶点对u,v和u的距离v。
2. 创建一个新图表，仅包含＆＃34;所需＆＃34;顶点，并设置两个这样的顶点u和v之间的权重，作为Floyd-Warshall找到的距离。
3. 在修改后的图形上运行TSP Solver以获取修改后的图形中的路径，并使用原始图形中的最短路径切换修改后的图形中的每条边。

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以上是最优的，因为假设路径较短。

D0=u->...D1->...->D2->...->Dk->...->t=D{k+1}

Di->...->D{i+1}至少具有FloydWarshall(Di,D{i+1})的权重（Floyd-Warshall的正确性），因此边缘(D0,D1),(D1,D2),...,(Dk,D{k+1)存在于修改后的图表中，其权重小于/等于权重给定的路径。

因此，根据您的TSP-Solver的正确性，通过使用D0->D1->...->Dk->D{k+1}，您获得的路径至少与候选最佳路径一样好。

Answer 2

您可能还想查看广义旅行商问题（GTSP）：节点被划分为子集，问题是找到每个子集中只访问一个节点的最小长度路由。允许模型从每个子集中选择它想要的任何节点。如果有必须访问的节点，您可以将它们全部放入子集中。