Question

我想知道这段代码的时间复杂性是俄罗斯农民实施

unsigned long long int russian(unsigned long long int a, unsigned long long int b) {
    unsigned long long int res = 0;
     while (b > 0) {
        if (b & 1)
            res = res + a;
        a <<= 1;
        b >>= 1;
    }
    return res % mod;
}

据我所知，我认为其时间复杂度为 lg2b 或 lg2a （取决于我们选择 a 或 b ）。任何专家评论？

Answer 1

您提供的代码片段的时间复杂度当然是O(1)，因为它可以花费多长时间的上限，并且永远不会超过任何输入的上限。

据推测，这不是你实际要问的问题的答案。实际上有几个不同的东西你可能真正感兴趣，它们实际上都有不同的答案。

（另外，既然你似乎试图进行模块化乘法运算，你真的应该减少循环中里面的所有相关数量，这样你就不会溢出，所以你可以使用-代替%）

您可能对准确估计挂钟时间感兴趣。获得这个实际上需要收集一些经验数据，但它可能看起来像

A + B bitlength(b) + C popcount(b)
对于某些常量popcount，1和A，
（B是二进制扩展中C的个数）。但是，CPU硬件实际上相当复杂，实际上可能非常需要对上面的第三项进行良好估计，因为分支预测硬件可能会做一些奇怪的事情。

A，B和C可能不是常数;它们在某种程度上取决于这个函数是否被内联，以及围绕它使用的地方的代码类型。

现在，您可能需要一个更抽象的答案，其中b可以是任意大小，而不是约束为unsigned long long的大小，并且想要计算算术运算的数量。这显然只是b的位长，或者如评论所示，O(lg(b))。（其中lg是日志库2）

现在，您可能实际上不仅对算术运算感兴趣，而且对成本感兴趣。并且可能对a具有任意大小而不是约束为unsigned long long感兴趣。一个有用的度量单位是位操作。例如在N位数上向左移1，应该花费O(N)位操作。

我非常确定循环适用于O(lg(a)lg(b)+lg(b)^2)位操作。（这不包括您之后执行的%操作）

俄罗斯农民乘法算法的时间复杂度？

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