Question

我正在尝试为以下1维AR模型实现卡尔曼滤波器的基本方程式：

x(t) = a_1x(t-1) + a_2x(t-2) + w(t)  

y(t) = Cx(t) + v(t);

KF状态空间模型：

x(t+1) = Ax(t) + w(t)

y(t) = Cx(t) + v(t)

w(t) = N(0,Q)

v(t) = N(0,R)

，其中

 % A - state transition matrix
% C - observation (output) matrix
% Q - state noise covariance
% R - observation noise covariance
% x0 - initial state mean
% P0 - initial state covariance

预测和更新的代码是：

function [xpred, Ppred] = predict(x, P, F, Q)
xpred = A*x;
Ppred = A*P*A’ + Q;
function [nu, S] = innovation(xpred, Ppred, z, H, R)
nu = y - C*xpred; %% innovation
S = R + C*Ppred*C’; %% innovation covariance
function [xnew, Pnew] = innovation_update(xpred, Ppred, n
u, S, C)
K = Ppred*C’*inv(S); %% Kalman gain
xnew = xpred + K*nu; %% new state
Pnew = Ppred - K*S*K’; %% new covariance

我正在尝试遵循实现https://github.com/cswetenham/pmr/blob/master/toolboxes/lds/kalmansmooth.m但是因为参数A，C作为矩阵给出而感到困惑。

我是否必须将A，C表示为矩阵？我如何为我的案件代表A，C，Q，R？

如何初始化A，C，Q，R？因为，我只有一个变量，Q，R应该是1乘1.但是，其他变量呢？请帮忙。

更新：这是完整的实施

%%% Matlab script to simulate data and process usiung Kalman for the state
%%% estimation of AR(2) time series.
% Linear system representation
% x_n+1 = A x_n + Bw_n
% y_n = Cx_n + v_n
% w = N(0,Q); v = N(0,R)
clc
clear all

T = 100; % number of data samples
order = 2;
% True coefficients of AR model
  a1 = 0.195;
  a2 = -0.95;

A = [ a1  a2;
      0 1 ];
C = [ 1 0 ];
B = [1;
      0];

 x =[ rand(order,1) zeros(order,T-1)];



sigma_2_w =1;  % variance of the excitation signal for driving the AR model(process noise)
sigma_2_v = 0.01; % variance of measure noise


Q=eye(order);
P=Q;




%Simulate AR model time series, x;



sqrtW=sqrtm(sigma_2_w);
%simulation of the system
for t = 1:T-1
    x(:,t+1) = A*x(:,t) + B*sqrtW*randn(1,1);
end

%noisy observation

y = C*x + sqrt(sigma_2_v)*randn(1,T);

R=sigma_2_v*diag(diag(x));
R = diag(R);

z = zeros(1,length(y));
z = y;

 x0=mean(y);
for i=1:T-1
[xpred, Ppred] = predict(x0,P, A, Q);
[nu, S] = innovation(xpred, Ppred, z(i), C, R);
[xnew, P] = innovation_update(xpred, Ppred, nu, S, C);
end

%plot
xhat = xnew';


plot(xhat(:,1),'red');
hold on;
plot(x(:,1));



function [xpred, Ppred] = predict(x0,P, A, Q)
xpred = A*x0;
Ppred = A*P*A' + Q;
end

function [nu, S] = innovation(xpred, Ppred, y, C, R)
nu = y - C*xpred; %% innovation
S = R + C*Ppred*C'; %% innovation covariance
end

function [xnew, Pnew] = innovation_update(xpred, Ppred, nu, S, C)
K = Ppred*C'*inv(S); %% Kalman gain
xnew = xpred + K*nu; %% new state
Pnew = Ppred - Ppred*K*C; %% new covariance
end

我有3个问题：（1）矩阵R的初始化在尺寸和值方面是否正确？

R=sigma_2_v*diag(diag(x));
R = diag(R);

其中x是清洁时间系列。（2）当创建时间序列的噪声观察时，我使用了除R之外的不同方差。我使用了sigma_2_v。我应该使用R还是sigma_2_v？这是我创建嘈杂时间序列的行

y = C*x + sqrt(sigma_2_v)*randn(1,T);

（3）代码抛出错误

Error using inv
Matrix must be square.

Error in innovation_update (line 2)
K = Ppred*C'*inv(S); %% Kalman gain

Error in Kalman_run (line 65)
[xnew, P] = innovation_update(xpred, Ppred, nu, S, C);

Answer 1

有不同的方法将给定的AR流程表示为状态空间模型，但我相信如果它是AR（2）流程（您的模型是），则必须具有二维状态表示。所以A，C和Q需要是矩阵。

你有标量观测，因此C将是1x2矩阵。

x应该是[x（t）形式的二维向量; X（t-1）]。第一个元素是AR模型在时间t的x值，第二个元素在时间t-1是x。
A的格式为[a_1 a_2; 1 0]。你可以看到Ax是[a_1x（t）+ a_2x（t-1）; x（t）]。因此在将A应用于状态x之后，第一个元素是x的预测下一个值（来自AR模型a_1x（t）+ a_2x（t-1）），并且第二个元素是时间t处的x，即元素已被移位下。
C可以是[1 0]，即在时间t的观察y仅仅是状态向量x的第一个元素。将状态x乘以C应该使用状态的观察，这里我们只想在时间t观察状态是什么并且做[1 0] [x（t）; x（t-1）]只是X（t）的。

A，Q，C和R可以从数据中学习（例如，如here所述）或使用您系统的先验知识进行设置。

仅仅因为你在每个时间步都有一个观察变量并不意味着Q和R都是1. Q是系统噪声协方差，R是观察噪声协方差 - 将它们设置为1只是指定协方差而不是做你认为它做的事情。

Matlab：帮助初始化矩阵

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