Question

我想评估以下递归函数：

当p在0和0.5（含）之间时，

F（x）= 0.25 * F（2x）;

当p在0.5和1（含）之间时，

F（x）= 0.25 + 0.75 * F（2x-1）。

另外，F（0）= 0，F（1）= 1。我不知道如何有效地做到这一点。我想要做的是为一组dyadic numbers计算F（x），然后绘制图形。困难的部分是找到函数值。有人可以提供一个如何处理这种递归函数评估的例子吗？至少有一些参考。请问哪种语言适合这样的任务？

Answer 1

如果您只对表单a / 2 ^b的输入感兴趣，那么它可能有助于定义类似

的内容

G（a，b）= F（a / 2 ^b）

考虑到这一点，请注意，由于F（0）= 0且F（1）= 1，我们有

G（0,0）= 0

G（1,0）= 1

现在，自

F（x）= 0.25 F（2x）（如果x≤0.5）

我们看到了

G（a，b）= 0.25 G（a，b - 1）（如果b> 0且a≤2^b-1）

而且，因为

F（x）= 0.25 + 0.75 F（2x - 1）（如果x≥0.5）

我们看到了

G（a，b）= 0.25 + 0.75 G（a - 2 ^b-1，b - 1）*（如果b> 0且a≥2^b-1功能）

总的来说，我们现在必须解决这个问题：

G（0,0）= 0

G（1,0）= 1

G（a，b）= 0.25 G（a，b - 1）如果a≤2^b-1

G（a，b）= 0.25 + 0.75 G（a - 2 ^{b - 1}，b - 1）否则

因此，要计算F（a / 2 ^b），你可以通过简单地扩展上述递归关系来及时做O（b）。

当然，还有一个问题是，对于这里发生的事情是否有更清晰的解释。基于我们将单位区间划分为[0,1 / 2]和[1 / 2,1]的范围这一事实，或许根据数字x来看待数字x是不会有害的。它的二进制表示。让我们看看如果我们这样做会发生什么。

如果x只有一位长，则它为0或1，我们可以直接评估：

F（0）= 0

F（1）= 1

现在，假设x具有二进制表示。 0.b <子> 0 B'的子> 1 ... B'的子>名词。注意

2x = b ₀ .b ₁ b ₂ ... b _n。

这非常方便，因为如果我们这样做，递归工作就会非常好。例如，如果b ₀ = 0，那么我们采用第一个分支：

F（0.0b ₁ b ₂ ... b _n）= 0.25 F（0.b _{1 ... b'的子>名词）}

否则，b ₀ = 1，所以我们采取第二个分支：

F（0.1b ₁ ... b _n）= 0.25 + 0.75 F（0.b ₁ ... b <子>名词）

这可以在时间O（n）中进行评估，其中n是数字表示中的位数（这与上面的时间限制匹配，因为上面的分母b是我们的numnber n。所有，我们在这里所做的只是改变表示。）

当我试图评估这种复发时，我还没有深入了解出现的模式，但是如果我发现某些内容，我会更新这个答案。

希望这有帮助！

Answer 2

在Ruby中实现它是直截了当的，它有一个内置的Rational类，因此数字舍入问题不会因为二元数而困扰你。

ONE_HALF = Rational(1,2)
ONE_QUARTER = Rational(1,4)
THREE_QUARTERS = Rational(3,4)

def f(r)
  r = r.to_r  # ensure r is a rational
  if r == 0
    return 0
  elsif r == 1
    return 1
  elsif r <= ONE_HALF
    return ONE_QUARTER * f(2 * r)
  else
    return ONE_QUARTER + THREE_QUARTERS * f(2 * r - 1)
  end
end

p f(Rational(0))          # => 0
p f(Rational(1))          # => 1
p f(Rational(1,2))        # => (1/4)
p f(Rational(1,4))        # => (1/16)
p f(Rational(3,4))        # => (7/16)
p f(Rational(47,1024))    # => (1549/1048576)

评估递归函数

2 个答案: