使用橡皮筋解决凸壳？

Question

可以通过拉伸橡皮筋使其包含所有点然后释放它来找到凸包。

所以我的问题是：假设我们有一个机器人（理论机器人）来解决这个问题。 我们给它们点的坐标（我们有n个点）。

1. 它使用一些引脚来指示电路板中的点（O（n））。

2. 现在我们选择一个点（我们选择哪一个并不重要）然后我们检查它与其他点的距离，如（sqr（x ^ 2 + y ^ 2））。我们找到了最大距离。

3. 然后机器人使用橡皮筋并以圆形的形式将其延伸，我们在步骤2中找到了一个距离半径，并以我们在步骤2中选择的点为中心。它释放了乐队。

4. 然后机器人需要跟随橡皮筋在O（m）中找到凸包的顶点，其中m是凸包由它们组成的顶点。（m <= n）

因此algorithem（这种方式）的总数顺序为O（n）。

我知道我没有考虑橡皮筋需要拉伸的时间或收缩所需的时间。

但假设我们有很多分数（收缩/拉伸）比O（n）少得多。

无论如何都要模拟计算机中橡皮筋的效果？

我知道由于分选较低的波段，凸包的最低可能顺序被称为O（nlg（n））。

Answer 1

“无论如何都要模拟计算机中橡皮筋的效果”：不，不是计算复杂性。计算机操作一次处理一定数量的操作数。例如，典型的凸包算法将点三乘三，并检查它们是形成顺时针还是逆时针三角形。据说这是在不断的时间内完成的。

释放波段涉及所有N个点，不能实现为原始操作。

如果您尝试以某种方式使用计算机模拟它，您可以确定它至少需要执行O（N Log（N））操作。无论如何，在离散的宇宙中（整数坐标），使用基数排序可以实现O（N）。

Answer 2

我猜你可以使用某种优化算法来模拟“橡皮筋算法”，但它可能会非常慢。请记住，从某种意义上说，物理世界是一个巨大的，非常复杂的计算机，一直在寻找复杂的东西，如重力，磁力等，最后但不是碰撞检测。

首先，让我们进行设置：

• 橡皮筋表示为保持橡皮筋中每个“原子”位置的双重连接节点列表（将橡皮筋视为1-d原子链）
• 引脚由某种空间映射表示，或非常细粒度的n维数组，包含某个小区域是否包含引脚的信息

现在，实际算法：

• 每当橡皮筋中的“原子”接触/非常接近一个引脚（根据空间图或n-d阵列）原子是固定的并且不能再移动
• 对于所有其他原子，稍微改变它们的位置，以便最小化到它们各自相邻邻居的距离;你可以用例如随机优化或群算法
来做到这一点
• 重复，直到所有原子都“安定下来”

当然，这种算法的复杂性非常糟糕，远比 O（n）甚至 O（nlogn）差，因为所有昂贵的计算都是“橡皮筋”通常是被称为宇宙的伟大的物理引擎。 （你可以通过在任何现代物理模拟中输入“橡皮筋和针板”问题来获得类似的结果。）

Answer 3

  

但假设我们有很多分数，它比O（n）要少得多。

不，不是，因为这一步：

  

现在我们选择一个点（我们选择哪一个并不重要）然后我们检查它与其他点的距离，如（sqr（x ^ 2 + y ^ 2））。我们找到了最大距离。

您无法在O(n)以内找到此最大距离。

此外：

  

然后机器人使用橡皮筋并以圆形的形式延伸，我们在步骤2中找到了一个距离半径，并且在我们在步骤2中选择的点的中心。它释放了乐队。

     

然后机器人需要跟随橡皮筋在O（m）中找到凸包的顶点，其中m是凸包由它们组成的顶点。（m <= n）

这需要O(m*n)时间，请参阅Jarvis march算法。你需要检查每个点是否实际上是凸包的一部分，你不能只是伸展松紧带一次并完成它。