使用较小给定数量的组合形成给定数字x

Question

编辑：之前我使用过2,5和16。但他们只是例子。但现在我想推广任何3个数字。

我有一个数字可以说N.这个数字只能通过添加x1，x2和x3来形成。我们可以使用三个数字任意数量的时间和任意组合。

这可以通过动态编程解决，还是有其他一些简单的方法？

Answer 1

如果您只有2个互质值，请使用Chicken McNugget Theorem。否则，请跳至Dynamic programming解决方案。

将16删除为冗余（因为它是2的幂，所以只使用更多的两个而不是它），2和5是互质的，所以最大的数字无法写为2a + 5b的是2*5 - 2 - 5 = 3。任何高于此的内容都可以写出来。

对于2和5的特定情况，解决方案的存在也可以这样说：显然偶数只能使用2来编写。赔率：

2k+1 = (2k - 4) + 5

因此，一旦它们变得足够大，通过使用两个5，它们总是可以写出来。

有关3个或更多数字，请参阅示例Frobenius Numbers和Numerical semigroups。

动态编程

或者如果你想坚持经典，动态编程：

dp[i] = true if we can reach sum i
dp[0] = true, false for the rest
for i = 0 to query_sum:
  dp[i] = dp[i] or dp[i - input1] or dp[i - input2] or dp[i - input3]

Answer 2

您正在尝试解决linear diophantine equation，基本上检查线性系统是否具有整数解。你的线性系统将是

a*2 + b*5 + c*16 = N

你正在寻找(a,b,c)。显然，解决这个问题涉及到一些正常形式的矩阵。