什么scipy.interpolate.InterpolatedUnivariateSpline.get_coeffs返回？

Question

我尝试了以下内容：

spline= interpolate.InterpolatedUnivariateSpline(X, Y, k=3)
coefs= spline.get_coeffs()

X和Y分别有五个值，最后我还coefs 五个价值观。鉴于五个数据点意味着四个样条部分，和 一个三次多项式有四个系数，我希望得到 四次四次= 16次系数。有谁知道如何解释get_coeffs方法返回的值？有没有记录这个的地方？

Answer 1

这些不是x，x ** 2的系数，等等：这样的单项式不适合表示样条。相反，它们是B-splines的系数，它们是针对进行插值的特定网格计算的。所涉及的B样条的数量等于数据点的数量，并且系数的数量也是如此。例如，假设我们想要插入这些数据：

xv = [0, 1, 2, 3, 4, 5]
yv = [3, 6, 5, 7, 9, 1]

从更简单的k = 1（分段线性样条）的情况开始。然后B样条是这些＆＃34;三角帽＆＃34;功能：

其中有6个。它们中的每一个等于1，其中＆＃34;网格点，所有其他网格点为0。这使得编写插值样条线非常容易：它是y[0]*b[0] + ... + y[5]*b[5]。实际上，get_coeffs显示系数是y值本身。

InterpolatedUnivariateSpline(xv, yv, k=1).get_coeffs()  # [ 3.,  6.,  5.,  7.,  9.,  1.]

立方样条

现在它变得毛茸茸，因为我们需要＆＃34;帽子＆＃34;这是平滑的，而不是像上面那样尖锐。平滑度要求强制它们更宽，因此每个B样条曲线在几个网格点上具有非零值。 （技术性：立方B样条具有非零值，最高可达3节，但在下图中，1和4尽管是网格点，但由于所谓的＆＃34;而不是结＃34而不是结。没关系。）以下是我们网格的B样条：

为了得到这些，我使用了scipy.interpolate的旧方法splrep和splev，它们在引擎盖下调用相同的fitpack例程。这里的系数向量是元组tck的第二个条目;我将其修改为一个1，其余为0，从而创建基本样条（b样条）。

k = 3
tck = splrep(xv, yv, s=0, k=k)
xx = np.linspace(min(xv), max(xv), 500)
bsplines = []
for j in range(len(xv)):
    tck_mod = (tck[0], np.arange(len(xv)+2*k-2) == j, k)
    bsplines.append(splev(xx, tck_mod))
    plt.plot(xx, bsplines[-1])

现在我们有一个列表bsplines，我们可以使用get_coeffs返回的系数将它们组合成一个插值样条：

coeffs = InterpolatedUnivariateSpline(xv, yv, k=3).get_coeffs()
interp_spline = sum([coeff*bspline for coeff, bspline in zip(coeffs, bsplines)])
plt.plot(xx, interp_spline)

如果你想要这些B样条曲线的公式，B-splines上的Cox-de Boor递推公式可以提供帮助，但这些都是手工计算的苦差事。

SymPy可以给formulas for B-splines，但有一点扭曲。一个人应该通过重复像

这样的结束值来传递一组填充的结

[0, 0, 0, 0, 2, 3, 5, 5, 5, 5]

这是因为在0和5处，所有四个系数都改变了值，而在1和4处都没有改变，所以它们被省略（＆＃34;不是结＆＃34;）。 （此外，当前版本的SymPy（1.1.1）存在重复结的问题，但这将在下一版本中修复。）

from sympy import symbols, bspline_basis_set, plot
x = symbols('x')
xv_padded = [0, 0, 0, 0, 2, 3, 5, 5, 5, 5] 
bs = bspline_basis_set(3, xv_padded, x)

现在bs是一系列可怕的分段公式：

[Piecewise((-x**3/8 + 3*x**2/4 - 3*x/2 + 1, (x >= 0) & (x <= 2)), (0, True)), 
Piecewise((19*x**3/72 - 5*x**2/4 + 3*x/2, (x >= 0) & (x <= 2)), (-x**3/9 + x**2 - 3*x + 3, (x >= 2) & (x <= 3)), (0, True)), 
Piecewise((-31*x**3/180 + x**2/2, (x >= 0) & (x <= 2)), (11*x**3/45 - 2*x**2 + 5*x - 10/3, (x >= 2) & (x <= 3)), (-x**3/30 + x**2/2 - 5*x/2 + 25/6, (x >= 3) & (x <= 5)), (0, True)), 
Piecewise((x**3/30, (x >= 0) & (x <= 2)), (-11*x**3/45 + 5*x**2/3 - 10*x/3 + 20/9, (x >= 2) & (x <= 3)), (31*x**3/180 - 25*x**2/12 + 95*x/12 - 325/36, (x >= 3) & (x <= 5)), (0, True)), 
Piecewise((x**3/9 - 2*x**2/3 + 4*x/3 - 8/9, (x >= 2) & (x <= 3)), (-19*x**3/72 + 65*x**2/24 - 211*x/24 + 665/72, (x >= 3) & (x <= 5)), (0, True)), 
Piecewise((x**3/8 - 9*x**2/8 + 27*x/8 - 27/8, (x >= 3) & (x <= 5)), (0, True))]