Question

boost::number::ublas包含M::size_type lu_factorize(M& m)函数。它的名字表明它执行给定矩阵m的{{3}}，即应该产生 m = L * U 的两个矩阵。似乎没有为此功能提供文档。

很容易推断它返回0表示成功分解，当矩阵是单数时返回非零值。但是，完全不清楚结果在哪里。通过引用获取矩阵表明它可以就地工作，但它应该产生两个矩阵（ L 和 U ）而不是一个即可。那它做了什么？

Answer 1

在boost中没有文档，但查看SciPy's lu_factor的文档可以看出，为 LU返回一个结果并不罕见分解

这就足够了，因为在 LU分解的典型方法中， L 的对角线仅包含一个，如this answer from Mathematics中所示，例如。

因此，可以将 L 和 U 同时放入一个矩阵中，将 L 放在结果的下半部分，省略对角线（假设只包含一个），并在上半部分 U 。例如，对于3x3问题，结果是：

    u11 u12 u13
m = l21 u22 u23
    l31 l32 u33

暗示：

     1    0   0
L =  l21  1   0
     l31  l32 1

和

    u11 u12 u13
U = 0   u22 u23
    0   0   u33

从同一命名空间检查boost void lu_substitute(const M& m, vector_expression<E>& e)函数似乎证实了这一点。它解决了等式 LUx = e ，其中 L 和 U 分别在其m参数中包含两个步骤。

首先使用m的下半部分解决 z 的 Lz = e ，其中 z = Ux ：

inplace_solve(m, e, unit_lower_tag ());

然后，计算出 z = Ux （在e修改后）， Ux = e 可以使用{{1}的上半部分来解决}}：

the documentation中提到了{p>

inplace_solve(m, e, upper_tag ());

，并且：

求解具有三角形形式的线性方程组，即A是三角形。

所以一切似乎都有意义。