Question

我已经坚持了一段时间的问题。我现在正在算法课程，但这不是一个家庭作业问题。我们还没有在课堂上进行动态编程，我只是自己做这件事。

给定一个NxN大小的棋盘，其中每个坐标都有一个成本和另一个整数M，找到从棋盘左上角到棋盘右下角的路径成本（只允许移动是向右或向下1平方）这样路径的总成本低于M但尽可能接近M. NxN和M的所有元素都是正数。

如果这让我找到最小或最大路径，我可以使用标准的动态编程算法，但由于我受M限制，我想我必须使用另一种策略。我一直试图使用memoization并构造一个数组，其中包含从开始到给定元素的所有可能路径的一组成本。为了构造（i，j）的集合，我将（i，j）的成本值添加到（i-1，j）和（j-1，i）的集合的并集中的每个元素（如果它们存在，否则只需在其位置使用集合{0}。一旦我为棋盘中的所有元素完成此操作，选择正确的路径是微不足道的。只需选择集合中的元素（N，N），该元素低于M但最接近M。

例如：

+---+---+---+
| 0 | 1 | 3 |
| 3 | 2 | 1 |
| 5 | 2 | 1 |
+---+---+---+

到达给定点的路径成本：

+---+----------+----------------+
| 0 | 1        | 4              |
| 3 | 3, 5     | 4, 5, 6        |
| 8 | 5, 7, 10 | 5, 6, 7, 8, 11 |
+---+----------+----------------+

这是一种空间效率低下的做事方式。如果我做了正确的数学运算，那么（N，N）节点集合中元素数量的最坏情况是（N + 1）！/（（N + 1）/ 2）!.是否有更快（空间或时间）的方法来解决我遇到的问题？

Answer 1

没有。如果所有成本都是整数，那么在每个单元格中，您需要存储大多数O（M）元素。所以你需要O（MN ^ 2）内存。如果总和> M，则忽略它。

在这个paper中，提到了一种伪多项式算法来解决类似问题（精确成本）。您可以使用相同的算法多次使用精确成本= M..1，也可以阅读算法并找到直接解决问题的变体。

不幸的是，这篇论文是付费的:(

通过最接近给定成本的棋盘寻找路径

1 个答案: