使用Python的样条线（使用控制结和端点）

Question

我正在尝试执行以下操作（从维基百科中提取的图像）

#!/usr/bin/env python
from scipy import interpolate
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# sampling
x = np.linspace(0, 10, 10)
y = np.sin(x)

# spline trough all the sampled points
tck = interpolate.splrep(x, y)
x2 = np.linspace(0, 10, 200)
y2 = interpolate.splev(x2, tck)

# spline with all the middle points as knots (not working yet)
# knots = x[1:-1]  # it should be something like this
knots = np.array([x[1]])  # not working with above line and just seeing what this line does
weights = np.concatenate(([1],np.ones(x.shape[0]-2)*.01,[1]))
tck = interpolate.splrep(x, y, t=knots, w=weights)
x3 = np.linspace(0, 10, 200)
y3 = interpolate.splev(x2, tck)

# plot
plt.plot(x, y, 'go', x2, y2, 'b', x3, y3,'r')
plt.show()

代码的第一部分是从the main reference中提取的代码，但没有解释如何将这些点用作控制结。

此代码的结果如下图所示。

点是样本，蓝线是考虑所有点的样条。而红线是不适合我的那条线。我试图将所有中间点视为控制结，但我不能。如果我尝试使用knots=x[1:-1]它就行不通。我很感激任何帮助。

简短问题：如何在样条函数中使用所有中间点作为控制结？

注意：最后一张图片正是我需要的，它是我所拥有的（样条传递所有点）和我需要的（带有控制结的样条）之间的区别。有任何想法吗？

Answer 1

在这个IPython Notebook http://nbviewer.ipython.org/github/empet/geom_modeling/blob/master/FP-Bezier-Bspline.ipynb中，您可以找到生成B样条曲线所涉及的数据的详细描述，以及de Boor算法的Python实现。

Answer 2

如果您想要评估bspline，则需要为样条线找出合适的结矢量，然后手动重建tck以满足您的需求。

tck代表结t +系数c +曲线度k。 splrep为通过给定控制点的三次曲线计算tck。所以你不能把它用于你想要的东西。

以下功能将向您展示我的a similar question I asked some time ago.解决方案，并根据您的需要进行调整。

有趣的事实：代码适用于任何维度的曲线（1D，2D，3D，...，nD）

import numpy as np
import scipy.interpolate as si


def bspline(cv, n=100, degree=3):
    """ Calculate n samples on a bspline

        cv :      Array ov control vertices
        n  :      Number of samples to return
        degree:   Curve degree
    """
    cv = np.asarray(cv)
    count = cv.shape[0]

    # Prevent degree from exceeding count-1, otherwise splev will crash
    degree = np.clip(degree,1,count-1)

    # Calculate knot vector
    kv = np.array([0]*degree + range(count-degree+1) + [count-degree]*degree,dtype='int')

    # Calculate query range
    u = np.linspace(0,(count-degree),n)

    # Calculate result
    return np.array(si.splev(u, (kv,cv.T,degree))).T

测试它：

import matplotlib.pyplot as plt
colors = ('b', 'g', 'r', 'c', 'm', 'y', 'k')

cv = np.array([[ 50.,  25.],
   [ 59.,  12.],
   [ 50.,  10.],
   [ 57.,   2.],
   [ 40.,   4.],
   [ 40.,   14.]])

plt.plot(cv[:,0],cv[:,1], 'o-', label='Control Points')

for d in range(1,5):
    p = bspline(cv,n=100,degree=d,periodic=True)
    x,y = p.T
    plt.plot(x,y,'k-',label='Degree %s'%d,color=colors[d%len(colors)])

plt.minorticks_on()
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.xlim(35, 70)
plt.ylim(0, 30)
plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
plt.show()

结果：

Answer 3

我认为问题是与你结矢量。如果选择太多结，它似乎会引起问题，它需要在结之间有一些数据点。这个问题解决了问题Bug (?) on selecting knots on scipy.insterpolate's splrep function

#!/usr/bin/env python
from scipy import interpolate
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# sampling
x = np.linspace(0, 10, 10)
y = np.sin(x)

# spline trough all the sampled points
tck = interpolate.splrep(x, y)
print tck
x2 = np.linspace(0, 10, 200)
y2 = interpolate.splev(x2, tck)

# spline with all the middle points as knots (not working yet)
knots = np.asarray(x[1:-1])  # it should be something like this
#knots = np.array([x[1]])  # not working with above line and just seeing what this line does
nknots = 5
idx_knots = (np.arange(1,len(x)-1,(len(x)-2)/np.double(nknots))).astype('int')
knots = x[idx_knots]
print knots

weights = np.concatenate(([1],np.ones(x.shape[0]-2)*.01,[1]))
tck = interpolate.splrep(x, y,  t=knots, w=weights)
x3 = np.linspace(0, 10, 200)
y3 = interpolate.splev(x2, tck)

# plot
plt.plot(x, y, 'go', x2, y2, 'b', x3, y3,'r')
plt.show()

似乎可以选择5节，6节给出奇怪的结果，还有更多的错误。

Answer 4

我刚刚在this link的bézier中找到了我需要的答案。然后我使用代码自己尝试。它显然工作得很好。这是我的实施：

#! /usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import binom

def Bernstein(n, k):
    """Bernstein polynomial.

    """
    coeff = binom(n, k)

    def _bpoly(x):
        return coeff * x ** k * (1 - x) ** (n - k)

    return _bpoly


def Bezier(points, num=200):
    """Build Bézier curve from points.

    """
    N = len(points)
    t = np.linspace(0, 1, num=num)
    curve = np.zeros((num, 2))
    for ii in range(N):
        curve += np.outer(Bernstein(N - 1, ii)(t), points[ii])
    return curve
xp = np.array([2,3,4,5])
yp = np.array([2,1,4,0])
x, y = Bezier(list(zip(xp, yp))).T

plt.plot(x,y)
plt.plot(xp,yp,"ro")
plt.plot(xp,yp,"b--")

plt.show()

这个例子的图像。

红点代表控制点。 就是它=）

Answer 5

您的示例函数是定期的，您需要将per=True选项添加到interpolate.splrep方法。

knots = x[1:-1]
weights = np.concatenate(([1],np.ones(x.shape[0]-2)*.01,[1]))
tck = interpolate.splrep(x, y, t=knots, w=weights, per=True)

这给我以下内容：

修改：这也解释了为什么它适用于knots = x[-2:2]，它是全范围的非定期子集。