构建者是否在Agda中脱节？ （或如何反驳inj 1 x≡inj₂y）

Question

我还需要一个引理，表明inj₁ x ≡ inj₂ y是荒谬的，作为关于Agda中不相交联合类型（⊎）的更大定理的一部分。

此结果将直接来自 ⊎的两个构造函数，即inj₁和inj₂，不相交。 Agda中的情况如何？我该如何证明？

以下是完整的引理：

open import Relation.Nullary
open import Relation.Binary.PropositionalEquality
open import Data.Sum


lemma : ∀ {a b} {A : Set a} {B : Set b} {x : A} {y : B} → ¬ inj₁ x ≡ inj₂ y
lemma eq = ?

Answer 1

数据类型构造函数是不相交的。我在Agda的类型系统元理论中说它是一个定理。

您可以尝试设置eq证明（C-c C-c），Agda会发现矛盾：

lemma : ∀ {a b} {A : Set a} {B : Set b} {x : A} {y : B} → ¬ inj₁ x ≡ inj₂ y
lemma ()

这种快乐的类型检查。