Question

我给你三个简短的代码：

第一个代码：

procedure Proc (n:integer)
  begin
  if n>0 then
    begin
    writeln('x')
    Proc(n-2)
     writeln('*');
     Proc(n-2)
     end 
   end

第二段代码：

procedure Proc (n:integer)
  begin
  if n>0 then
    begin
    writeln('*');
    Proc(n-1)
    end 
   end

第三个代码：

procedure Proc (n:integer)
  begin
  if n>0 then
    begin
    writeln('x')
    Proc(n/2)
     writeln('*');
     Proc(n/2)
     end 
   end

我想知道如何确定我给出的每个代码的计算复杂度，因为它会帮助我更好地理解..有人可以编写一个算法来逐步确定示例代码的计算复杂度，并且它可以将此算法应用于另一个代码示例吗？

Answer 1

第一个问题：假设您知道对于n - 2的值，Proc称为T（n-1）次。因此，对于n的值，T（n）= 1 + 2T（n-2），因为将有一次调用Proc（n），这将调用Proc（n-2）两次。 T（n）= 1 + 2T（n-2）是河内塔的变体，其为T（n）= 1 + 2T（n-1）。这里有证明http://en.wikipedia.org/wiki/Tower_of_Hanoi来证明T（n）= 1 + 2T（n-1）= 2 ^ n-1。因此，T（n-1）= 1 + 2T（（n-1）-1）= 1 + 2T（n-2）= 2 ^（n-1）-1。在你的情况下，T（n）= 1 + 2T（n-2）= 2 ^（n-1）-1。换句话说，在河内塔问题中减去每隔一个术语可以节省大约一半的电话。 2 ^（n-1）-1 = 2 ^ n / 2 - 1，其为O（2 ^ n）。

第二个问题：这更容易。 T（0）= 1且T（n）= 1 + T（n-1）。您可以通过多种不同方式解决这个问题，但其中一种方法是通过伸缩式实现：

T（n）= 1 + T（n-1）

T（n-1）= 1 +（n-2）

...

T（1）= 1 + T（0）

加上双方......

T（n）+ T（n-1）+ ... + T（1）= 1 + T（n-1）+ ... + 1 + T（0）= n + T（n- 1）+ ... + T（0）

减去类似的条款。

T（n）= n + T（0）= n + 1.所以这是O（n）。

第三个问题：与第一个类似。 T（0）= 1，假设我们知道对于n-1的值，你可以看到T（n）= 1 + 2 T（n / 2）。这里注意，T（n）= 1 + 2T（n / 2）＆lt; n + 2T（n / 2）。

因此解决2T（n / 2）+ n并推出重现：

T（n）= 2T（n / 2）+ n

T（n / 2）= 2T（n / 4）+ n / 2

因此T（n）= 4T（n / 4）+ n + n

T（n / 4）= 2T（n / 8）+ n / 4

因此T（n）= 8T（n / 8）n + n + n

......对于正k，看起来像T（n）= 2 ^ kT（n / 2 ^ k）+ kn。

通过归纳证明。 k = 1：给出T（n）= 2T（n / 2）+ n。这是我们的基本案例。如果对于k-1为真，则对于k显示为真：

T（n）=（2 ^（k-1））T（n / 2 ^（k-1））+（k-1）n //归纳假设

T（n / 2 ^（k-1））= 2 T（[n / 2 ^（k-1））] / 2）+ n / 2 ^（k-1））//给定复发< / p>

= 2T（n / 2 ^ k）+ n / 2 ^（k-1）

=＆GT; T（n）=（2 ^ k）T（n / 2 ^ k）+ n +（k-1）n =（2 ^ k）T（n / 2 ^ k）+ kn。对于k来说是如此。

T（n）= 2 ^ kT（n / 2 ^ k）+ kn，选择合适的正k，例如k = ln（n）。

T（n）= 2 ^ ln（n）T（n / 2 ^ Ln（n））+ nln（n）= nT（1）+ nln（n）。

T（1）= 1，因为Proc刚刚结束。所以n（T（1））+ nln（n）= nln（n）+ n = O（nln（n））。

不幸的是，没有一个适合所有程序的复杂性。你必须根据具体情况采取它并找出问题。

确定样本代码的计算复杂度

1 个答案: