Question

给出以下类型族（应该反映同构A×1≅A）

type family P (x :: *) (a :: *) :: * where
  P x () = x
  P x a  = (x, a)

以及以其术语定义的数据类型

data T a = T Integer (P (T a) a)

是否可以通过某种类型的hackery为后者编写Functor实例？

instance Functor T where
  fmap f = undefined  -- ??

直观地说，取决于f的类型，显然该做什么，但我不知道如何在Haskell中表达它。

Answer 1

我倾向于推理使用Agda这类更高级的程序。

这里的问题是您希望在*（Agda中的Set）上进行模式匹配，违反参数，如评论中所述。这不好，所以你不能这样做。你必须提供证人。即以下是不可能的

P : Set → Set → Set
P Unit b = b
P a b = a × b

您可以使用辅助类型克服限制：

P : Aux → Set → Set
P auxunit b     = b
P (auxpair a) b = a × b

或者在Haskell：

data Aux x a = AuxUnit x | AuxPair x a

type family P (x :: Aux * *) :: * where
  P (AuxUnit x) = x
  P (AuxPair x a) = (x, a)

但这样做会导致T出现问题，因为您需要再次对其参数进行模式匹配，以选择正确的Aux构造函数。

“简单”解决方案是直接T a ~ Integer和a ~ ()表达T a ~ (Integer, a)：

module fmap where

record Unit : Set where
  constructor tt

data ⊥ : Set where

data Nat : Set where
  zero : Nat
  suc : Nat → Nat

data _≡_ {ℓ} {a : Set ℓ} : a → a → Set ℓ where
  refl : {x : a} → x ≡ x

¬_ : ∀ {ℓ} → Set ℓ → Set ℓ
¬ x = x → ⊥

-- GADTs
data T : Set → Set1 where
  tunit : Nat → T Unit
  tpair : (a : Set) → ¬ (a ≡ Unit) → a → T a

test : T Unit → Nat
test (tunit x) = x
test (tpair .Unit contra _) with contra refl
test (tpair .Unit contra x) | ()

您可以尝试在Haskell中将其编码为。

您可以使用例如表达'idiomatic' Haskell type inequality

我将把Haskell版本作为练习：）

嗯或者你的意思是data T a = T Integer (P (T a) a)：

T () ~ Integer × (P (T ()) ())
     ~ Integer × (T ())
     ~ Integer × Integer × ... -- infinite list of integers?

-- a /= ()
T a ~ Integer × (P (T a) a)
    ~ Integer × (T a × a) ~ Integer × T a × a
    ~ Integer × Integer × ... × a × a

这些也更容易直接编码。

是否可以为涉及类型族的此数据类型编写fmap？

1 个答案: