构建堆时间复杂度最坏情况vs上限/紧上限

Question

HERE据说构建堆的最坏情况时间复杂度是O（nlogn），但上限是O（n）。

上限与最坏情况下的时间复杂度有何不同，以及何时对其他人更有意义。 是紧张的上限任何不同？

Answer 1

构建堆（也称为 Heapify ）总是 O（n），无论输入分布或堆的分支因子如何（二进制，三元堆< / EM> ...）。

你误读了提供的链接，它说:(重点是我的）

  

虽然最坏情况复杂度看起来像 O（nLogn），但时间复杂度的上限是O（n）。

基本上，heapify如何工作？ （为了清楚起见，我假设我们使用的是二进制堆）

首先让我们回想一下二进制堆的堆条件（使用数组A）：

  

对于任何i∈[0，[N / 2]，A [i]≤A[2i + 1] AND A [i]≤A[2i + 2]

注意：您通常会找到从索引1开始的数组所表示的相同条件。在这种情况下，您只需要＆＃34;删除＆＃34; 1，即。 2i + 1变为2i，2i + 2变为2i + 1.

为什么这个条件仅限于堆的前半部分？简单，对于任何i＆gt; N / 2，2i + 1和2i + 2都不是有效索引。

<强> HEAPIFY
输入： N个元素的数组
输出：强制执行堆条件的相同N个元素的数组

void sink(int [] A, int i, int n) {
    int highest = 2*i+1;
    if (2*i+1 >= n)
        return;
    if (2*i+2 < n && A[2*i+2] > A[highest])
        ++highest;
    if (A[i] < A[highest]) {
        swap(A, i, highest);
        sink(A, highest, n);
    }
}

void heapify(int [] A, int n) {
    for (int i = n/2; i >= 0; --i) {
        sink(A, i, n);
    }
}

假设我们有一个完整的二进制堆，这样的堆恰好包含N = 2 ^{h + 1} - 给定整数的1个元素h> = 0。堆作为树。索引0是树的根（高度1），索引1,2是此根的子节点（高度0），依此类推。树的高度是整数h。

算法从高度h-1开始。高度为h-1的2 ^h-1 元素在向下沉降时最多可移动一次。然后，高度为h-2的2 ^h-2 元素每个元素最多可以触发2个交换...根（高度0的2 ⁰ 元素）可以触发最多是互换。最后，构建堆的最大交换次数是：

  

MaxSwap = sum(k=0..h-1, 2^k.(h-k)) = 2 ^{h + 1} - h - 2≤2 ^{h + 1} - 1 = N

构建堆的最大比较次数是最大交换次数的两倍。 对于任何＆＃34;不完整的＆＃34;堆，即。 2 ^h ≤N<1。 2 ^{h + 1} - 1，推理仍然有效。

结论：Heapify 是 O（N），其中N是堆的大小。

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加成

从输入数组构建Maxheap的正在运行的Java示例：here