Haskell中泛型多态ADT的Functor实例？

Question

当谈到将类别理论应用于泛型编程时，Haskell做得非常好，例如像recursion-schemes这样的库。然而，我不确定的一件事是如何为多态类型创建通用仿函数实例。

如果你有一个多态类型，比如List或Tree，你可以创建一个从（Hask×Hask）到Hask的仿函数代表它们。例如：

data ListF a b = NilF | ConsF a b  -- L(A,B) = 1+A×B
data TreeF a b = EmptyF | NodeF a b b -- T(A,B) = 1+A×B×B

这些类型在A上是多态的，但是关于B是固定点，如下所示：

newtype Fix f = Fix { unFix :: f (Fix f) }
type List a = Fix (ListF a)
type Tree a = Fix (TreeF a)

但是大多数人都知道，列表和树也是通常意义上的仿函数，它们代表a的“容器”，您可以映射函数f :: a -> b以获取容器b的。{/ p>

我试图找出是否有办法以通用的方式将这些类型（固定点）作为Functor的实例，但我不确定如何。到目前为止，我遇到了以下两个问题：

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1）首先，必须有一种方法可以在任何多态固定点上定义泛型gmap。知道像ListF和TreeF这样的类型是Bifunctors，到目前为止我已经得到了这个：

{-# LANGUAGE ScopedTypeVariables #-}
import Data.Bifunctor

newtype Fix f = Fix { unFix :: f (Fix f) }

cata :: Functor f => (f a -> a) -> Fix f -> a
cata f = f . fmap (cata f) . unFix

-- To explicitly use inF as the initial algebra
inF :: f (Fix f) -> Fix f
inF = Fix

gmap :: forall a b f. Bifunctor f => (a -> b) -> Fix (f a) -> Fix (f b)
gmap f = cata alg
    where
        alg :: f a (Fix (f b)) -> Fix (f b)
        alg = inF . bimap f id

在Haskell中，这给了我以下错误：Could not deduce (Functor (f a)) arising from a use of cata from the context (Bifunctor f)。

我正在使用bifunctors包，该包具有WrappedBifunctor类型，专门定义可解决上述问题的以下实例：Bifunctor p => Functor (WrappedBifunctor p a)。但是，我不确定如何在Fix内“提升”此类型以便能够使用它

2）即使可以定义上面的通用gmap，我也不知道是否可以创建Functor的{​​{1}}通用实例并且可以立即用于那里的fmap = gmap和List类型（以及以类似方式定义的任何其他类型）。这可能吗？

如果是这样，是否可以使其与Tree兼容？

Answer 1

如果您现在愿意接受与bifunctors打交道的那一刻，您可以说

cata :: Bifunctor f => (f a r -> r) -> Fix (f a) -> r
cata f = f . bimap id (cata f) . unFix

然后

gmap :: forall a b f. Bifunctor f => (a -> b) -> Fix (f a) -> Fix (f b)
gmap f = cata alg
    where
        alg :: f a (Fix (f b)) -> Fix (f b)
        alg = inF . bimap f id

（在gmap中，我刚重新安排了您的类约束，以使作用域类型变量有效。）

您也可以使用原始版本的cata，但是您需要同时使用。{1}} Functor上的Bifunctor和gmap约束：

gmap :: forall a b f. (Bifunctor f, Functor (f a)) => (a -> b) -> Fix (f a) -> Fix (f b)
gmap f = cata alg
    where
        alg :: f a (Fix (f b)) -> Fix (f b)
        alg = inF . bimap f id

您无法使gmap成为正常Functor类的实例，因为它需要类似

instance ... => Functor (\ x -> Fix (f x))

我们没有类型级别的lambda。如果您反转f的两个参数，可以执行此操作，但是您会丢失＆＃34;其他＆＃34; Functor个实例，需要再次为cata定义Bifunctor。

[您可能还有兴趣阅读http://www.andres-loeh.de/IndexedFunctors/以获得更一般的方法。]

Answer 2

TBH我不确定这个解决方案对你有多大帮助，因为它仍然需要为这些定点仿函数额外newtype包装，但是我们走了：

如果你做一些包装/解包，你可以继续使用你的通用cata

给出以下两个辅助函数：

unwrapFixBifunctor :: (Bifunctor f) => Fix (WrappedBifunctor f a) -> Fix (f a)
unwrapFixBifunctor = Fix . unwrapBifunctor . fmap unwrapFixBifunctor . unFix

wrapFixBifunctor :: (Bifunctor f) => Fix (f a) -> Fix (WrappedBifunctor f a)
wrapFixBifunctor = Fix . fmap wrapFixBifunctor . WrapBifunctor . unFix

您可以在gmap上定义f而无需任何其他约束：

gmap :: (Bifunctor f) => (a -> b) -> Fix (f a) -> Fix (f b)
gmap f = unwrapFixBifunctor . cata alg . wrapFixBifunctor
  where
    alg = inF . bimap f id

您可以通过Fix . f

将Functor变为newtype

我们可以通过将此“类型级lambda”实现为Functor来为\a -> Fix (f a)实现newtype实例：

newtype FixF f a = FixF{ unFixF :: Fix (f a) }

instance (Bifunctor f) => Functor (FixF f) where
    fmap f = FixF . gmap f . unFixF

Answer 3

bifunctors包还提供了Fix的特别合适的版本：

newtype Fix p a = In {out :: p (Fix p a) a}

这很容易成为Functor个实例：

instance Bifunctor p => Functor (Fix p) where
  fmap f = In . bimap (fmap f) f . out