Question

我编写了一个Haskell风格的Functor类型类：

Class Functor (f: Type -> Type) := {
  map {a b: Type}: (a -> b) -> (f a -> f b);
  map_id: forall (a: Type) (x: f a), map id x = x
}

id有明显的定义。

现在，我已经证实了Functor list和函数类型的实例。但我想证明关于任何仿函数的陈述。首先，我想证明什么是基本上是一个重言式：对map_id的任何仿函数进行重述。

Theorem map_id_restatement: forall (F: Type -> Type), 
  Functor F -> forall T (x: F T), map id x = x.

想要证明这个定理的想法我只是apply map_id。但是当我尝试开始证明这一点时，我收到了一个错误：

Toplevel input, characters 88-91:
Error:

Could not find an instance for "Functor F" in environment:

F : Type -> Type
T : Type
x : F T

但由于类型中的假设，Functor F实例应该已经在范围内。为什么不被认可？

编辑：

好的，我发现我可以通过量化Functor F：

来实现它

Theorem map_id_restatement: forall (F: Type -> Type) (finst: Functor F),
  forall T (x: F T), map id x = x.
Proof. apply @map_id. Qed.

为什么这有必要？有趣的是，如果我没有明确地为仿函数实例命名（例如，如果我只是写(_: Functor F)），。

Answer 1

我不知道这是不是一个bug，但请注意，当你写Functor F -> SomeType之类的内容时，你隐含地说SomeType不依赖于Functor实例，在你的情况下不正确：你的定理的完整类型，打印所有隐式参数，将是这样的：

Theorem map_id_restatement: forall (F: Type -> Type) (finst: Functor F),
  forall T (x: F T), @map F fints T T (@id T) x = x.

如果您将finst替换为_，则会获得

Theorem map_id_restatement: forall (F: Type -> Type) (_: Functor F),
  forall T (x: F T), @map F _ T T (@id T) x = x.

无法真正进行类型检查，因为_实际上并不是变量名。

请注意，如果您在冒号前匿名绑定Functor F，Coq会接受它：

Theorem map_id_restatement (F: Type -> Type) (_ : Functor F) :
  forall T (x: F T), map (@id T) x = x.
Proof. apply @map_id. Qed.

据推测，在这里，Coq以不同的方式处理_，并用自动生成的名称替换它，而不是实际将其保留为未命名。您还可以使用以下表单，该表单在forall下或冒号之前有效：

Theorem map_id_restatement (F: Type -> Type) : forall `(Functor F),
  forall T (x: F T), map (@id T) x = x.
Proof. apply @map_id. Qed.