最大独立集的近似比？

Question

假设我们有一个加权网格图，我们的问题是找到最大的独立集。有一种贪婪的算法，每次选择最重的节点并将其移除并与其相邻，直到选择或移除G的所有节点。我们想要证明W（s）> = 1/4 W（T）其中S是我们的贪心结果而T是OPT解决方案。

让S成为我们贪婪算法的结果，T是一个任意独立的集合，可以是OPT。我们知道对于属于T的任何节点v的任何T-S，v'中存在S的节点v。w(v) <= w(v')的邻居和{{1}}。

有什么想法可以证明这一点吗？

Answer 1

通过以下证明可以获得所需的结果。

让S成为贪婪算法生成的集合，让T成为一组独立的最大权重。我们将逐步将T转换为S并限制每个转换步骤的损失。

在v中选择最大权重的T\S。根据上述问题中的陈述，v'中存在S，w(v') >= w(v);选择这样的v'。让N成为v'中T的邻域; N包含v，最多包含4个顶点（因为我们有一个网格图）。选择v时，最大权重和w(v')>=w(v)，我们获得w(v')>=w(N)/4。我们设置T':=(T\N)并向其添加v'。通过构建，T'仍然是一个独立的集合，我们有w(T') >= w(T) - (3/4)w(N)。

总的来说，对于每个交换步骤，来自T\S的顶点被消除，但是添加来自S的节点，使得添加的总权重至少是总丢失重量的四分之一。 此外，每个步骤中构造的集合N是不相交的，这意味着在每个步骤中，至少保留了w(N)的四分之一。总的来说，正如我们构建的S，S的权重至少为(1/4)w(T)。

请注意，输入图不需要是网格图，但最大4度就足够了;此外，证据可以通过允许一个abitrary图来概括，用最大度数Δ代替4，得到1 /Δ的近似值。

Answer 2

只需使用您的上一个语句，并将T视为最大独立集，并且您有两个结果：

1. 对于T-S中的每个节点，例如v，u中S之类的节点都是W(v) <= W(u)。
2. u中的S等每个节点最多是T中4个节点的邻居。

现在使用它们：）