随机多项式TM

Question

我需要证明存在随机多项式TM M，它使用O(log(n))空间s.t.

  

表示输入G，s，t，其中G是有向图，s，t是两个顶点   G：如果有一条从s到t的路径，那么Pr[M(G,s,t) = 1] ≥ 1/nⁿ
  其他Pr[M(G,s,t)=1] = 0

我试图每次选择一个随机邻居，但我无法确定为什么概率为1/nⁿ，
而且我不确定迭代次数。

另一个问题：
我需要使用上面的结果以及我使用O(log k)空格的“随机计数器”，最多可以计算2k，以表明：

  

如果存在使用O(log n)的随机多项式TM M，则L在LN中   空间和每个输入x，M将发现并且：如果x在L中那么   Pr[M(x) = 1] ≥ 1/2其他Pr[M(x) = 1] = 0

Answer 1

我只回答第一个问题，因为每个帖子应该是一个问题。

<强>算法：

1. 以vertice s
开头
2. 将计数器设置为零。
3. 选择随机邻居v。 （并递增计数器）
4. 检查v是否等于t。
5. 如果没有选择v的另一个随机邻居。 （增加柜台）
6. 重复3.和4.直到找到t或计数器到达n。 （或c⋅n其中c是常数）

为此，您只需要保存3个顶点（s，v，t）和计数器。如果计数器存储为binaray数，则需要log₂(n)位。所以这在O(log(n))空间中运行。

如果从s到t没有路径，您将永远不会获得s的{​​{1}}邻居，因此t成立。<登记/> 如果存在路径，找到它的可行性将是选择正确邻居的可行性的产物。所以最糟糕的情况是Pr[M(G,s,t)=1] = 0是一个完整的图，所以外翻顶点有g个邻居。路径不能超过n-1个顶点。因此，让n从[s,v₁,v₂,...,vm,t]到s的路径t。我们得到了

Pr[M(G,s,t) = 1] ≥ Πk=1,...,m 1/|neighbors(vk)|
                 ≥ Πk=1,...,m 1/(n-1)
                 ≥ Πk=1,...,m 1/n
                 ≥ Πk=1,...,n 1/n
                 = 1/nⁿ