Question

我试图用FFTW3库进行快速傅里叶余弦变换来解决矩形域中的泊松方程。

四边的边界条件是零Neumann边界条件。

等式d^u/dx^2+d^2u/dy^2=-f
与f=cos(x)+cos(y)，域[-pi pi,-pi pi]
确切的解决方案是u=f。
function f满足Neumann边界条件。
使用傅里叶变换驱动等式，我们有：
U=F/(lamda(i)+lamda(j))
此处lamda(k)=2*(1-cos(i/(n0-1)))
和U被反转变换为小u。

然而，与精确解决方案相比，我仍然得到错误的结果。

你能帮帮我吗？非常感谢你。

这是我的代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <fftw3.h>
#include <iostream>

using namespace std;
int main() {

    int n0=64;
    int n1=64;

    int N=n0*n1;

    double pi = 3.14159265359;
    double L  = 2.*pi;
   double dx = L/(n0);

    double *in1=new double [N];
    double *in2=new double [N];
    double *out1=new double [N];
    double *out2=new double [N];
    double *X=new double [N];
    double *Y=new double [N];


    fftw_plan p, q;
    int i,j;
    p = fftw_plan_r2r_2d(n0,n1, in1, out1, FFTW_REDFT00, FFTW_REDFT00, FFTW_ESTIMATE);
    q = fftw_plan_r2r_2d(n0,n1, in2, out2, FFTW_REDFT00, FFTW_REDFT00, FFTW_ESTIMATE);

    for(i = 0;i <n0;i++){
        X[i] =-pi+i*dx ;
        for(j = 0;j<n1;j++){
            Y[j] = -pi+j*dx ;
            in1[i*n0 + j]= cos(X[i]) + cos(Y[j]) ; // row major ordering
        }
    }

    fftw_execute(p);

    double *lamda=new double [n0];

    for (i=0;i<n0;i++){
        lamda[i]=cos(pi*i/(n0-1));
    }

    for ( i= 0; i< n0; i++){   // f = g / ( lamda(ii)+lamda(jj) )  
        for( j = 0; j < n1; j++){

            double fact=0;
            in2[i*n0 + j]=0;

            fact=2*(2-lamda[i]-lamda[j]);

            if(fact!=0){
                in2[i*n0 + j] = out1[i*n0 + j]/fact;
            }else{
                in2[i*n0 + j] =0;
            }

        }
    }

    fftw_execute(q);

    double erl1 = 0.;
    for ( i = 0; i < n0; i++) {
        for( j = 0; j < n1; j++){

            cout<< i <<" "<< j<<" "<< cos(X[i])+cos(Y[j])<<" "<<  dx*dx*out2[i*n0+j]/(2.*(double)(n0-1))/(2.0*(double)(n1-1)) <<" "<< endl; 

        }
    }

    fftw_destroy_plan(p); fftw_destroy_plan(q); fftw_cleanup();
    delete [] in1;
    delete [] in2;
    delete [] out1;
    delete [] out2;
    delete [] X;
    delete [] Y;
    return 0;
}

具有全零Neumann边界条件的泊松方程的快速傅里叶余弦变换

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