如何总结序列？

Question

我如何总结以下顺序：

⌊n/1⌋ + ⌊n/2⌋ + ⌊n/3⌋ + ... + ⌊n/n⌋

这只是C ++上的O（n）解决方案：

#include <iostream>
int main()
{
   int n;
   std::cin>>n;
   unsigned long long res=0;
   for (int i=1;i<=n;i++)
   {
      res+= n/i;
   }
   std::cout<<res<<std::endl;
   return 0;
}

你知道比这更好的解决方案吗？我的意思是O（1）或O（log（n））。感谢您的时间:)和解决方案

编辑： 谢谢你的所有答案。如果有人想要解决方案O（sqrt（n））： 的Python：

import math
def seq_sum(n):
 sqrtn = int(math.sqrt(n))
 return sum(n // k for k in range(1, sqrtn + 1)) * 2 - sqrtn ** 2
n = int(input())
print(seq_sum(n))

C ++：

#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
   int n;
   std::cin>>n;
   int sqrtn = (int)(std::sqrt(n));
   long long res2 = 0;
   for (int i=1;i<=sqrtn;i++)
   {
      res2 +=2*(n/i);
   }
   res2 -= sqrtn*sqrtn;
   std::cout<<res2<<std::endl;
   return 0;
}

Answer 1

这是Dirichlet's divisor summatory function D(x)。使用以下公式（source）

，其中

给出了以下O(sqrt(n))伪代码（碰巧是有效的Python）：

def seq_sum(n):
  sqrtn = int(math.sqrt(n))
  return sum(n // k for k in range(1, sqrtn + 1)) * 2 - sqrtn ** 2

注意：

• Python中的//运算符是整数，即截断，除法。
• math.sqrt()用作说明。严格地说，这应该使用exact integer square root algorithm而不是浮点数学。

Answer 2

取自Divisor summatory function上的维基百科文章，

  

    

  

其中。这应该提供时间解决方案。

编辑：整数平方根问题也可以用平方根或甚至对数时间来解决 - 只是在不明显的情况下。

Answer 3

Polymath项目描绘了一个在时间O（n ^（1/3 + o（1）））中计算此函数的算法，请参阅第8-9页的第2.1节：

http://arxiv.org/abs/1009.3956

该算法包括将区域切割成足够薄的区间，并估计每个区域的值，其中区间选择为足够薄，以便在舍入到最接近的整数时估计将是精确的。所以你直接计算到某个范围（他们建议100n ^（1/3），但你可以小心地修改它）然后在这些薄片中做其余的。

有关此序列的详细信息，请参阅the OEIS entry。

编辑：我现在看到Kerrek SB在评论中提到了这个算法。然而，公平地说，我在5年前向OEIS添加了评论，所以我对发布“他的”答案感到不舒服。 ：）

我还应该提到没有O（1）算法是可能的，因为答案是在n log n附近，因此即使写出也需要时间＆gt; log n。

Answer 4

我们将所有数字{1, 2, 3, ..., n}分成两组：小于或等于sqrt(n)且大于sqrt(n)。对于第一组，我们可以通过简单迭代计算总和。对于第二组，我们可以使用以下观察：a > sqrt(n)，而不是n / a < sqrt(n)。这就是我们可以迭代[n / i] = d（从1到sqrt(n)）的值并计算i的{​​{1}}的数量的原因。使用[n / i] = d表示O(1)的事实d可以在[n / i] = d中找到固定i * d <= n and i * (d + 1) > n的{​​{1}}。

第一组和第二组在[n / (d + 1)] < i <= [n / d]处理，共计O(sqrt(n))次。

Answer 5

对于大型n，请使用以下公式：

其中

（是一个超越数字。）

有关详细信息，请参阅Euler-Mascheroni constant文章。