Question

我正在编写一个程序，对于任何给定的正整数a＆lt; b＆lt;如果存在ax + by = c的解，则c将输出YES，其中x和y也是正整数（x，y> 0），或者如果没有解，则输出NO。请记住，我需要处理大数字。

我解决这个问题的方法是从c中减去b，然后检查这个数字是否可以被a除。

这是我的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main(){
    unsigned long long int a, b, c;
    scanf("%I64u %I64u %I64u", &a, &b, &c);
    while(c>=a+b){ //if c becomes less than a+b, than there's no sollution
        c-=b;
        if(c%a==0){
            printf("YES");
            return 0;
        }
    }
    printf("NO");
    return 0;
}

是否有一种更优化的方法来找到更好的ax + by = c有积极的解决方案？我尝试阅读关于线性丢番图方程，但我找到的只是找到整数解（但不是正数）的方法。

Answer 1

到目前为止我的方法。

使用Euclidean Algorithm查找GCD（a，b）
当且仅当GCD（a，b）除以c时，才存在ax + by = c的解（整数）。没有整数解决方案意味着没有积极的解决方案。
使用Extended Euclidean Algorithm解决Diophantine equation，如果提供非正解，则返回NO。

对于比较，很难找到花费超过一秒钟的例子，但在决定数千个随机方程时，性能差异是显而易见的。 This Lecture有一个解决方案可以找到积极的数量线性丢番图方程的解。

typedef unsigned long long int BigInt;
int pos_solvable(BigInt a, BigInt b, BigInt c) {
  /* returns 1 if there exists x, y > 0 s.t. ax + by = c
   * where 0 < a < b < c
   * returns 0, otherwise
   */
  BigInt gcd = a, bb = b, temp; 
  while (bb) { /* Euclidean Algorithm */
    temp = bb;
    bb = gcd % bb;
    gcd = temp;
  }
  if (c % gcd) { /* no integer (or positive) solution */
    return 0;
  } else { 
    /* Extended Euclidean Algorithm */
    BigInt s = 0, old_s = 1;
    BigInt t = 1, old_t = 0;
    BigInt r = b / gcd, old_r = a / gcd;

    while (r > 0) {
      BigInt quotient = old_r / r;
      BigInt ds = quotient * s;
      BigInt dt = quotient * t;
      if (ds > old_s || dt > old_t)
        return 0; /* will give non-positive solution */

      temp = s;
      s = old_s - ds;
      old_s = temp;

      temp = t;
      t = old_t - dt;
      old_t = temp; 

      temp = r;
      r = old_r - quotient * r;
      old_r = temp;
    }
    return 1; 
  }
}

Answer 2

以下是评论，但对评论部分来说太大了。

这是为了帮助其他人更深入地探讨这个问题。

OP：如果你愿意，可以在你的帖子中加入任何内容。

仍然需要一些具有挑战性的a,b,c。

#include <limits.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

//#define LLF "%I64u"
#define LLF "%llu"

int main(void) {
  unsigned long long int a, b, c, x, y, sum, c0;
  // scanf(LLF LLF LLF, &a, &b, &c);
  c = c0 = ULLONG_MAX;
  b = 10000223;
  a = 10000169;
  y = 0;
  sum = a + b;
  time_t t0 = time(NULL);
  while (c >= sum) { //if c becomes less than a+b, than there's no solution
    c -= b;
    if (c % a == 0) {
      break;
    }
  }
  if (c % a == 0) {
    y = (c0 - c) / b;
    x = c / a;
    printf("YES " LLF "*" LLF " + " LLF "*" LLF " = " LLF "\n", a, x, b, y, c);
  } else {
    printf("NO\n");
  }
  time_t t1 = time(NULL);
  printf("time :" LLF "\n", (unsigned long long) (t1 - t0));
  return 0;
}

输出

YES 10000169*1844638544065 + 10000223*4688810 = 18446697184563946985
time :0

优化用正整数求解ax + by = c的程序

2 个答案: