我有一个关系f定义为f：A - ＆gt; B×C。我想写一个firsr-order公式来约束这个关系是从A到B×C的双射函数？
更确切地说，我想要以下公式的第一个计数器部分（实际上是三者的结合）：
∀a：A，∃！ bc：B×C，f（a）= bc -- f is function
∀a1，a2：A，f（a1）= f（a2）→a1 = a2 -- f is injective
∀（b，c）：B×C，∃a：A，f（a）= bc -- f is surjective
正如您所看到的，上面的公式是高阶逻辑，因为我对关系进行了量化。如果可能的话，这些公式的一阶逻辑等价是什么？
PS： 这是更一般的（数学）问题，而不是更具体到任何定理证明者，而是从这些社区获得帮助 - 我认为这些社区对数学有成熟的理解 - 我把定理证明标记放在这个问题
答案 0 :(得分：1)
（更新：有人对我的回答感到不满意，所以我总是把我搞砸了，所以我在这里说出我想要的东西，以后可能会删除它，我想。
我知道SO不是辩论和肥皂盒的地方。另一方面，OP，qartal，我认为是不满意的人，想要将数字应用于数字化处理的数学问题，这个问题来源于此{{{{{ 1}}和isabelle。
首先，符号很重要，而草率符号可能会导致一个模糊不清的问题。
第二，拥有B.S.在数学方面，我完全赞赏ZFC集的逻辑，所以我非常感谢math.stackexchange.com。
我在这里提出的论点是，在下面链接的math.stackexchange.com上给出的答案在Isabelle / HOL的背景下是错误的。 （首先，我在不明确的情况下提出索赔对人们来说很烦人。）
如果我错了，有人教我一些东西，那么这里的情况就会被赎回。
回答者说：
首先，逻辑
logic只是另一套。
不仅仅是一种逻辑。当我看到符号B x C时，我的直接反应是想到一个类型，而不是一个集合。考虑一下，看起来像x：
f: A -> BxC我想我应该多多地在套装和类型之间来回走动，并阅读思想，但我确实通过输入这个术语来学习：
definition foo :: "nat => int × real" where "foo x = (x,x)"
感到偏执，我这样做是为了看看是否陷入了一个主要问题：
term "B × C" (* shows it's of type "('a × 'b) set" *)
它给出了语法错误。我在这里，所有的迂腐，我们的讨论是不明确的，因为符号是不明确的。
（另一个嗯，写完我在下面说的话之后，我已经完整的圈子了。当事情的背景不明确时，说些什么东西。）
语境就是一切。其他站点的上下文通常是ZFC集。在这里，它是HOL。那个回答者说要为他的公式假设这些，我在下面给出：
term "f : A -> B × C"
语法。没有人在这里定义它，但这里的标签是Ax is true iff x∈A
Bx is true iff x∈B×C
Rxy is true iff f(x)=y
，所以我认为我可以用iff的左侧代替右侧。
此外，表达式isabelle 在典型的集合论教科书中的公式中，而不是x ∈ A。因此，为了使回答者的公式具有意义，我可以正确地将Rxy插入其中。
这就是我在第一个答案中做了很多对冲的原因。变量f(x) = y不能在公式中。如果它在公式中，则它是一个隐式量化的自由变量。这是Isar语法中的公式：
f这里有替换：
term "∀x. (Ax --> (∃y. By ∧ Rxy ∧ (∀z. (Bz ∧ Rxz) --> y = z)))"
在HOL中，∀x. (x∈A --> (∃y. y∈B×C ∧ f(x)=y ∧ (∀z. (z∈B×C ∧ f(x)=z) --> y = z)))
，所以f(x) = f x是隐含的，普遍量化的。如果是这种情况，那么它不是第一顺序。
真的，我应该深入思考我所教的内容，f意味着：
f(x)=y最终让我：
(x,f(x)) = (x,y) which means we have to have (x,y)∈(A, B×C)
最后，我猜结果是在math.stackexchange.com的背景下，它是100％的。
我是唯一一个在Isabelle / HOL背景下质疑这意味着什么的人吗？我不接受这里的所有内容都已经足够明确地表明它是第一个订单。
真的，qartal，你的符号应该特定于一个特定的逻辑。
Isabelle，我根据我对你的解释来回答这个问题
∀x. (x∈A -->
(∃y. y∈B×C ∧ (x,y)∈(A,B×C) ∧ (∀z. (z∈B×C ∧ (x,z)∈(A,B×C)) --> y = z)))
，我作为ZFC集，特别是其中的一部分
笛卡儿积f: A -> B x C
你从ZFC的两个逻辑中得到了一种混合符号 和HOL的集合。因此，我可能会对我的想法感到失望 问。
你没有定义你的关系，所以我保持简单。
我定义了一个简单的ZFC函数，并证明了第一个
第一个条件的一部分，A x (B x C)是一个函数。第二部分是
证明独特性。可以看出f满足那个，所以一旦a
正确地说明了唯一性的公式，f可能很容易证明它。
请注意
定理是一阶公式。字符auto和!是ASCII
?和\<forall>的等价物。
（澄清时必须充实
与HOL合作。如果变量是原子的，它是一阶逻辑。在这
case，变量的类型是\<exists>。基本概念就在那里。那
我很可能在某些细节上错了。）
numeral（为了给你一个你所要求的例子，我必须重新定义我的功能，所以它是双射的。很少有例子可以做大量工作。）
这是基本思想，其余证明definition "A = {1,2}"
definition "B = A"
definition "C = A"
definition "f = {(1,(1,1)), (2,(1,1))}"
theorem
"!a. a \<in> A --> (? z. z \<in> (B × C) & (a,z) \<in> f)"
by(auto simp add: A_def B_def C_def f_def)
是一个功能
遵循这个基本模式。
如果出现问题，您的f是ZFC设置功能/关系，并且
Isabelle / HOL的逻辑基础设施被设置为一种类型的功能。
作为有序对的函数，ZFC样式，可以在Isabelle / HOL中形式化，但是 它没有以合理完整的方式完成。
概括一切就是工作的所在。对于特定的关系，如 我在上面定义，如果我忽略它，我可以将自己限制为一阶公式 基础，Isabelle / HOL，当然是高阶逻辑。