如何将最大基数二分匹配减少到最小路径覆盖？

Question

我读过这两个问题：link1 link2

以及此wikipedia

但我无法理解如何解决最大匹配问题以解决最小路径覆盖问题。我知道解决方案是n-m，其中n是G中的顶点数，m是最大匹配，但我找不到原因

Answer 1

这是对这一事实的直观解释（这不是一个严格的证据）：让我们看一下路径封面中的每条路径。除路径中的第一个顶点外，每个顶点都有一个唯一的前驱。而且，每个顶点只有一个后继（除了每个路径中的最后一个）。这就是我们可以说每个顶点与其前身匹配的原因。如果顶点与任何东西都不匹配，则它是某个路径中的第一个顶点。这就是为什么路径的数量等于不匹配的顶点的数量（每个路径只有一个第一个顶点）。不匹配顶点的数量显然等于顶点总数减去匹配顶点数。这就是我们获得n - m公式的方式。最大匹配的大小不可能得到更少的路径（否则n - m1 < n - m =＆gt; m1 > m =＆gt; m不是最大值。同时，我们可以明确地构建一个具有n - m路径的解决方案。

Answer 2

• 左边有n个节点＆amp; m个节点在右边。
• 匹配后，您可以计算maxFlow f - 最大匹配数。
• 左边的节点＆amp;右边的f个节点已经在最小边缘覆盖。
• 左边是那些没有匹配的n-f个节点，右边那里有这样的节点。
• 这些节点尚未覆盖，因为最大匹配并不包括它们。
• 这些节点中的每一个都可以连接到最小边缘盖。所以它增加了（n-f）+（m-f）个边缘。
• 所以总的最小覆盖是f +（n-f）+（m-f）= n + m-f

这是最小边缘问题：https://code.google.com/codejam/contest/11254486/dashboard#s=p2&a=2