2D Gaussian适合Python中某些坐标的强度

Question

我有一组坐标（x，y，z（x，y）），它们描述坐标x，y处的强度（z）。对于不同坐标处的这些强度的设定数量，我需要拟合2D高斯，以最小化均方误差。 数据在numpy矩阵中，对于每个拟合会话，我将有4,9,16或25个坐标。最终我只需要获得具有最小MSE的高斯（x_0，y_0）的中心位置。 我发现的所有示例都使用scipy.optimize.curve_fit，但它们的输入数据是整个网格而不是几个坐标。 任何帮助，将不胜感激。

Answer 1

简介

有多种方法可以解决这个问题。您可以使用非线性方法（例如scipy.optimize.curve_fit），但它们会很慢并且无法收敛。您可以将问题线性化（快速，独特的解决方案），但是＆＃34; tails中的任何噪音都会出现问题。分发会引起问题。实际上有一些技巧可以应用于这个特定情况，以避免后一个问题。我将展示一些例子，但我没有时间展示所有的＆＃34;技巧＆＃34;现在。

正如旁注所示，一般的2D guassian有6个参数，所以你不能完全适应4点的东西。然而，听起来你可能假设x和y之间没有协方差，并且方差在每个方向上是相同的（即完美的＆＃34;圆＆＃34;钟形曲线）。如果是这种情况，那么您只需要四个参数。如果你知道高斯的振幅，你只需要三个。但是，我将从一般解决方案开始，如果您愿意，可以在以后简化它。

目前，让我们专注于使用非线性方法解决此问题（例如scipy.optimize.curve_fit）。

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2D guassian的一般方程是（直接来自维基百科）：

其中：

在协方差矩阵上基本上为0.5，A是幅度， 和（X 0，Y 0）是中心

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生成简化的样本数据

让我们写出上面的等式：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def gauss2d(x, y, amp, x0, y0, a, b, c):
    inner = a * (x - x0)**2 
    inner += 2 * b * (x - x0)**2 * (y - y0)**2
    inner += c * (y - y0)**2
    return amp * np.exp(-inner)

然后让我们生成一些示例数据。首先，我们将生成一些易于使用的数据：

np.random.seed(1977) # For consistency
x, y = np.random.random((2, 10))
x0, y0 = 0.3, 0.7
amp, a, b, c = 1, 2, 3, 4

zobs = gauss2d(x, y, amp, x0, y0, a, b, c)

fig, ax = plt.subplots()
scat = ax.scatter(x, y, c=zobs, s=200)
fig.colorbar(scat)
plt.show()

请注意，我们还没有添加任何噪音，并且分布的中心在我们拥有数据的范围内（即中心为0.3,0.7，x和y的散射在0和1之间）。现在，让我们坚持下去，然后我们会看到当我们添加噪音并改变中心时会发生什么。

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非线性拟合

首先，让我们使用scpy.optimize.curve_fit预先形成适合高斯函数的非线性最小二乘法。 （在旁注中，您可以使用scipy.optimize中的一些其他函数来使用精确的最小化算法。）

scipy.optimize函数期望的函数签名与我们上面编写的函数签名略有不同。我们可以写一个包装来＆＃34;翻译＆＃34;，但是让我们重新编写gauss2d函数：

def gauss2d(xy, amp, x0, y0, a, b, c):
    x, y = xy
    inner = a * (x - x0)**2
    inner += 2 * b * (x - x0)**2 * (y - y0)**2
    inner += c * (y - y0)**2
    return amp * np.exp(-inner)

我们所做的就是将函数期望自变量（x＆amp; y）作为单个2xN数组。

现在我们需要初步猜测一下guassian曲线的参数究竟是什么。这是可选的（默认为全部，如果我没记错的话），但如果1,1不是特别接近＆＃34; true＆＃34;那么你很可能会出现收敛问题。高斯曲线的中心。出于这个原因，我们将使用我们最大观察到的z值的x和y值作为中心的起点。我将其余参数保留为1，但如果您知道他们可能会始终存在显着差异，请将其更改为更合理的参数。

这是完整的，独立的例子：

import numpy as np
import scipy.optimize as opt
import matplotlib.pyplot as plt

def main():
    x0, y0 = 0.3, 0.7
    amp, a, b, c = 1, 2, 3, 4
    true_params = [amp, x0, y0, a, b, c]
    xy, zobs = generate_example_data(10, true_params)
    x, y = xy

    i = zobs.argmax()
    guess = [1, x[i], y[i], 1, 1, 1]
    pred_params, uncert_cov = opt.curve_fit(gauss2d, xy, zobs, p0=guess)

    zpred = gauss2d(xy, *pred_params)
    print 'True parameters: ', true_params
    print 'Predicted params:', pred_params
    print 'Residual, RMS(obs - pred):', np.sqrt(np.mean((zobs - zpred)**2))

    plot(xy, zobs, pred_params)
    plt.show()

def gauss2d(xy, amp, x0, y0, a, b, c):
    x, y = xy
    inner = a * (x - x0)**2
    inner += 2 * b * (x - x0)**2 * (y - y0)**2
    inner += c * (y - y0)**2
    return amp * np.exp(-inner)

def generate_example_data(num, params):
    np.random.seed(1977) # For consistency
    xy = np.random.random((2, num))

    zobs = gauss2d(xy, *params)
    return xy, zobs

def plot(xy, zobs, pred_params):
    x, y = xy
    yi, xi = np.mgrid[:1:30j, -.2:1.2:30j]
    xyi = np.vstack([xi.ravel(), yi.ravel()])

    zpred = gauss2d(xyi, *pred_params)
    zpred.shape = xi.shape

    fig, ax = plt.subplots()
    ax.scatter(x, y, c=zobs, s=200, vmin=zpred.min(), vmax=zpred.max())
    im = ax.imshow(zpred, extent=[xi.min(), xi.max(), yi.max(), yi.min()],
                   aspect='auto')
    fig.colorbar(im)
    ax.invert_yaxis()
    return fig

main()

在这种情况下，我们确切地（ish）恢复我们原来的＆＃34; true＆＃34;参数。

True parameters:  [1, 0.3, 0.7, 2, 3, 4]
Predicted params: [ 1.   0.3  0.7  2.   3.   4. ]
Residual, RMS(obs - pred): 1.01560615193e-16

正如我们在一秒钟内看到的那样，情况总是如此......

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添加噪音

让我们在观察中添加一些噪音。我在这里所做的就是更改generate_example_data功能：

def generate_example_data(num, params):
    np.random.seed(1977) # For consistency
    xy = np.random.random((2, num))

    noise = np.random.normal(0, 0.3, num)
    zobs = gauss2d(xy, *params) + noise
    return xy, zobs

然而，结果看起来完全不同：

就参数而言：

True parameters:  [1, 0.3, 0.7, 2, 3, 4]
Predicted params: [  1.129    0.263   0.750   1.280   32.333   10.103  ]
Residual, RMS(obs - pred): 0.152444640098

预测中心没有太大变化，但b和c参数发生了很大变化。

如果我们将函数的中心更改为稍微超出点分散的某处：

x0, y0 = -0.3, 1.1

因为存在噪音，我们会完全胡说八道！ （它仍能在没有噪音的情况下正常工作。）

True parameters:  [1, -0.3, 1.1, 2, 3, 4]
Predicted params: [  0.546  -0.939   0.857  -0.488  44.069  -4.136]
Residual, RMS(obs - pred): 0.235664449826

当拟合衰减为零的函数时，这是一个常见问题。 ＆＃34;尾巴中的任何噪音＆＃34;可能会导致非常糟糕的结果。有很多策略可以解决这个问题。最简单的方法之一是通过观察到的z值来加权反演。以下是1D案例的示例:(专注于线性化问题）How can I perform a least-squares fitting over multiple data sets fast?如果我以后有时间，我会为2D案例添加一个例子。