Question

我想找到使用不同排序算法对数组中的 n 元素进行排序的总比较。我不想手动完成（如果数组中的元素数量相当大）。有没有＆＃34;公式＆＃34;计算下面列出的每种排序算法的比较，例如，如果数组中有8个元素包含以下元素[3,24,66,34,8，-5,42,80]？我怎样才能找到每个的比较？

1) Merge Sort

For example, if I use Merge sort manually in order to find the total numbers of
comparisons for 8 elements, this is what I get:

       3, 24, 66, 34, 8, -5, 42, 80    

     3, 24, 66, 34      8, -5, 42, 80    

    3, 24    66, 34     8, -5    42, 80   

 3  24    66    34       8   -5   42    80    

    3, 24    34, 66     -5, 8    42, 80 

      3, 24, 34, 66      -5, 8, 42, 80  

       -5, 3, 8, 24, 34, 42, 66, 80

 Total number of comparisons  needed to sort this array = 15 
 I would like to be able to do this using a formula, if possible, not manually.


2) Insertion sort

Answer 1

这不是一件容易的事，因为它可能取决于算法实现的细节，也不是 n 的纯函数。

实际上，您得到的是比较次数值的分布，具体取决于输入的排列。通常，一个区分最佳情况（最小数量的比较），最坏情况（最大数量）和平均情况（当您假设输入排列的相应概率时的数学期望）。

这些数字可以通过对程序的推理获得，但这通常是一项艰巨的任务（对于普通情况来说甚至令人生畏），通常用近似值解决。

无论如何，您可以通过检测程序来凭经验获得它：声明一个计数器变量，并在进行比较的同时递增它。

我建议你做以下练习：

按照我的说法检测代码，
采用 n 第一个整数的序列;
生成所有可能的输入排列（只有 n 可能性 - 只要 n 保持较小，说 n up到10，这仍然是可管理的，10！= 3628800）并在每个上运行算法;
（或者你可以用随机数填充数组并重复多次）;
累积比较次数的直方图（对于每个可能的比较次数计算实现它的排列次数），
观察并比较不同算法的直方图。

即使 n 仍然适度，您将观察最佳和最差的情况，并且更加谨慎地看待中心趋势和传播。这应该是有益的。

使用相同的方法，您还可以观察元素位移的数量。

Answer 2

这是不可能的，因为确切的数字取决于输入。这就是为什么你有乐观的复杂性，悲观和平均有时也称为预期。突出的例子是具有悲观复杂度O（n ^ 2）的快速排序的基本实现。另一方面，冒泡排序的乐观情况是O（n）。更多示例：http://en.wikipedia.org/wiki/Best,_worst_and_average_case#Sorting_algorithms。

您唯一能做的就是根据问题实例计算它，例如通过点击比较功能。虽然，我不确定每个实例的值是否非常有意义。

Answer 3

通常人们不会进行这种计算。他们对评估算法的复杂性感兴趣，即“渐近地” 比较次数如何随输入“

的大小而增加

例如，合并排序（平均）增长为O（n log n）。这意味着合并排序的比较次数不比n log n差，其中n是输入的大小。有一些方法可以达到这个表达式，即主定理或树方法。

实际上，可以证明，没有基于比较的算法不能比n log n做更少的比较。这就是所谓的比较模型！ comparison algorithms

但是，排序可以在线性时间内完成，具体取决于您的集合的类型，例如使用计数排序 - 一种直方图。

排序算法与完全排序的总比较

3 个答案: