如何在MATLAB中计算机器epsilon？

Question

我需要找到机器epsilon，我正在做以下事情：

eps = 1;

while 1.0 + eps > 1.0 do
    eps = eps /2;
end

然而，它告诉我这个：

Undefined function or variable 'do'. 
Error in epsilon (line 3) 
while 1.0 + eps > 1.0 do

我该怎么办？

Answer 1

首先，MATLAB中没有do关键字，所以从代码中删除它。另外，请勿使用eps作为实际变量。这是MATLAB中预定义的函数，用于计算machine epsilon，这也是您尝试计算的函数。通过创建一个名为eps的变量，您可以隐藏实际函数，因此MATLAB中需要使用它的任何其他函数都会出现意外行为，并且这不是您想要的。

改为使用其他内容，例如macheps。此外，您的算法略有不正确。您需要在1.0 + (macheps/2)循环中检查while，而不是1.0 + macheps。

换句话说，这样做：

macheps = 1;

while 1.0 + (macheps/2) > 1.0
    macheps = macheps / 2;
end

这应该给你2.22 x 10^{-16}，如果你在命令提示符下键入eps，它会同意MATLAB。要仔细检查：

>> format long
>> macheps

macheps =

     2.220446049250313e-16

>> eps

ans =

     2.220446049250313e-16

---

加成

如果你不知道，机器epsilon是由浮点运算引起的相对误差的上限。换句话说，这将是真实浮点数与计算机上计算的最大差值之间的最大差异，因为用于存储浮点数的位数有限。

如果你还记得，浮点数不可避免地在你的计算机上表示为二进制位（或几乎任何数字）。就IEEE 754 floating point standard而言，MATLAB假设所有数值都是double类型，它将浮点数表示为64位。显然，您可以通过显式转换为其他类型来覆盖此行为。对于{75}浮点标准，对于double精度类型数，有52位代表数字的小数部分。

这是我正在谈论的一个很好的图表：

^{来源：Wikipedia}

您会看到为数字的符号保留了一位，为指数基数保留了11位，最后，为小数部分保留了52位。总共加起来为64位。小数部分是基数2的集合或总和，负指数从-1下降到-52。浮点数的MSB以2^{-1}开头，一直到2^{-52}作为LSB。本质上，机器epsilon计算两个数字之间二进制增加1位的最大分辨率差异，因为它们具有相同符号和相同指数基数。从技术上讲，机器epsilon实际上等于2^{-52}，因为这是浮点中单个位的最大分辨率，考虑到我之前谈到的那些条件。

如果您实际上仔细查看上面的代码，除以2的除法是位移您的数字在每次迭代时向右移动一个位置，从整数值1开始，或{ {1}}，我们取这个数字并将其加到1.我们保持位移，通过将该位移值加1来看看该值等于什么，然后我们上升到我们的位置位移到右侧，不再记录更改。如果您再向右移位，由于下溢，该值将变为 0 ，因此2^{0}，这不再是1.0 + 0.0 = 1.0，这就是> 1.0循环正在检查。

一旦while循环退出，正是这个阈值定义了机器epsilon。如果您有点好奇，如果您在命令提示符中输入while，您将获得2^{-52}等于的内容：

eps

这是有道理的，因为你将一位向右移动了52次，而循环停止之前的点将是它的LSB，即>> 2^-52 ans = 2.220446049250313e-16 。为了完整，如果你要在2^{-52}循环中放置一个计数器，并计算while循环执行的次数，它将执行52次，代表52位转换为右边：

while

Answer 2

看起来你可能想要这样的东西：

eps = 1;

while (1.0 + eps > 1.0)
    eps = eps /2;
end

Answer 3

虽然上面有一个很好的答案，但我想我会添加一个提到的 Octave 和 Matlab 方法[1]。

>> a = 1; b = 1; while a+b~=a; b= b/2; end

读作 a 加 b 不等于 a。

参考文献：

[1] 阿尔菲奥·夸特罗尼、福斯托·萨利里和保拉·杰瓦西奥。 2016. 使用 MATLAB 和 Octave 进行科学计算。 Springer Publishing Company, Incorporated。