如何使用javascript计算基于曲面角度的法线向量？

Question

对于图片中显示的表面，我有这3个（a，b和c）角度，我需要找到这两个法向量的（x，y，z）。

其中一个载体铺设在表面上，另一个载体垂直于它。

向量指向原点（0,0,0）。

有人可以帮忙吗？

Answer 1

由于您只使用基本旋转，因此每个旋转都有简单的公式：

您想要操作的旋转是这些矩阵的乘法。顺序很重要，但是因为你从陀螺仪装置获得角度，我将假设一个传统的顺序：滚动（围绕x轴，a或这个帖子的符号中的伽玛），音高（绕y轴，b或β），最后偏航（围绕z轴，c或alpha）。

以下是适用于您的一般显式（并且非常难看）矩阵公式，显示必须执行三次旋转的顺序（来自http://planning.cs.uiuc.edu/node102.html）。

然后你将矢量乘以这个矩阵R（你的矢量作为右边的列矢量），你就完成了。

所以你的矩阵的javascript代码是：

var ca = Math.cos(a), sa = Math.sin(a);
var cb = Math.cos(b), sb = Math.sin(b);
var cc = Math.cos(c), sc = Math.sin(c);

var mat = [[cc*cb, cc*sb*sa-sc*ca, cc*sb*ca+sc*sa],
           [sc*cb, sc*sb*sa+cc*ca, sc*sb*ca-cc*sa],
           [-sb,   cb*sa,          cb*ca]];

// x is any vector you want to rotate
var x = [/* value on x axis */, /* value on y axis */, /* value on z axis */];

// this is the value of x once it is rotated
var rot_x = [mat[0][0]*x[0]+mat[0][1]*x[1]+mat[0][2]*x[2],
             mat[1][0]*x[0]+mat[1][1]*x[1]+mat[1][2]*x[2],
             mat[2][0]*x[0]+mat[2][1]*x[1]+mat[2][2]*x[2]];

---

从通用公式可以看出，如果旋转标准基础的矢量，则得到[1,0,0]的矩阵的第一列，[0,1,0]的第二列和[0,0,1]的第三列，更简单。然而，上述公式是通用的，并且始终有效。

Answer 2

答案：

[x1] = [cos(b)cos(c)]
[y1] = [sin(c)cos(b)]
[z1] = [-sin(b)]


[x2] = [sin(b)cos(a)cos(c) + sin(a)sin(c)]
[y2] = [sin(b)sin(c)cos(a) - sin(a)cos(c)]
[z2] = [cos(a)cos(b)]

其中a =围绕x轴旋转，b =围绕y轴旋转，c =围绕z轴旋转。

额外信用答案：

如果（x3，y3，z3）是垂直于（x1，y1，z1）的平面上的另一个向量，那么它如下：

[x3] = [sin(a)sin(b)cos(c) - sin(c)cos(a)]
[y3] = [sin(a)sin(b)sin(c) + cos(a)cos(c)]
[z3] = [sin(a)cos(b)]

Explination：

（我在我的探索中使​​用英国对矩阵的定义，所以美国人记得你通常会把它做回到前面。它不影响结果，只影响探索。）

我假设你的飞机在桌子上开始平坦，它是x-y飞机。 z轴指向页面外。围绕x轴旋转一度，围绕y轴旋转b度，围绕z轴旋转c度。

因此，将（x1，y1，z1）向量视为向量（1,0,0）按顺序旋转a，b，c。类似地（x2，y2，z2）是按顺序旋转a，b，c的矢量（0,0,1）。 （如果你想在平面上垂直于（x1，y1，z1）的另一个矢量，只需在（0,1,0）上进行旋转。

以下是按顺序围绕x轴，y轴和z轴旋转的矩阵。其中c =角度的cos和角度的s = sin

[1 0 0]
[0 c -s]
[0 s c]

[c 0 s]
[0 1 0]
[-s 0 c]

[c -s 0]
[s c 0]
[0 0 1]

所以我们要做的就是一个接一个地应用它们（所以美国人以相反的顺序这样做）

Final matrix = [cos(c) -sin(c) 0] [cos(b)  0   sin(b)] [ 1      0       0   ]
               [sin(c) cos(c)  0] [   0    1     0   ] [ 0    cos(a) -sin(a)]
               [0       0      1] [-sin(b) 0   cos(b)] [ 0    sin(a)  cos(a)]

             = [cos(c) -sin(c) 0] [cos(b)   (sin(a)sin(b))   (sin(b)cos(a))] 
               [sin(c) cos(c)  0] [  0           cos(a)         -sin(a)    ]
               [0       0      1] [-sin(b)  (sin(a)cos(b))   (cos(a)cos(b))]

             = [cos(b)cos(c)       (sin(a)sin(b)cos(c) - sin(c)cos(a))     (sin(b)cos(a)cos(c) + sin(a)sin(c))]
               [(sin(c)cos(b))     (sin(a)sin(b)sin(c) + cos(a)cos(c))     (sin(b)sin(c)cos(a) - sin(a)cos(c))]
               [-sin(b)                   (sin(a)cos(b))              (cos(a)cos(b))]

那么你将这个matix乘以你的向量，得到上面的答案。