Math.E等于0.99 .... ^ max int

Question

一位朋友告诉我（至少在谷歌Chrome控制台中）以下语句打印为true：

1/Math.pow(0.9999999999999999, Number.MAX_SAFE_INTEGER) === Math.E

事实上，1/Math.pow(0.9999999999999999, Number.MAX_SAFE_INTEGER)是2.718281828459045。

这不是巧合吗？！

有人可以解释幕后发生的事情吗？

根据wolfram alpha，正确的值应约为1/0.40628，大约为2.4613566998129373 - 与Math.E相距甚远。 （我假设wolframalpha在计算中比javascript更精确，但我可能错了）。

任何解释都将不胜感激。

奖金：我想知道那个表达式的真正近似数学值是多少？ 我发现了这个：

n = 0.0000000000000001
(1 - n)^MAX_INT =  1 + (MAX_INT choose 2) * n + (MAX_INT choose 3) * n^2 + ... + n^MAX_INT 

但我不知道如何近似。

我在wolfram alpha中测试了上述表达式，并获得了2.46。

Answer 1

pow(x, y)通常计算为exp(log(x) * y)，所以让我们从那里开始。

我们有：

• x = 0.9999999999999999，汇总到x = 1 - eps（eps == 2^-53）。
• y = 2^53 - 1，即y = 1 / eps（约）。

所以我们实际上在计算exp(log(1 - eps) * 1/eps)。

log(1 - k)的{​​{3}}为-k - k^2/2 - ...，但在我们的情况下，所有高阶词都将被截断。

我们有exp(-eps / eps)或exp(-1)，即1 / e。

<小时/> <子> 示范：

1 - 0.9999999999999999                  //  1.1102230246251565e-16
Math.log(1 - 1.1102230246251565e-16)    // -1.1102230246251565e-16
1 / Number.MAX_SAFE_INTEGER             //  1.1102230246251568e-16

Answer 2

这来自the original characterisation of e as：

然后使用以下属性：

• MAX_SAFE_INTEGER = 2 ⁵³ -1，
• 0.9999999999999999轮到1 - 2 ^-53

然后

1 /（1-2 ^-53 ）= 1 + 2 ^-53 /（1-2 ^-53 ）= 1 + 1 /（2 ⁵³ -1）

因此，

1 /（1-2 ^-53 ） ^{2 53 -1} = [1 + 1 /（2 ^{53 < / sup> -1）] 2 53 -1}

非常接近e。