Question

如何确定从P的边界上的A点开始到P的边界上的B点结束的段是否完全包含在P的内部？

编辑：在这种情况下，没有必要检查该段与多边形边界上的其他段的交点，因为稍后将会这样做。

这可以在恒定的时间内完成吗？

Answer 1

根据编辑过的描述，假设多边形是简单的，它表示为逆时针排序顺序的段列表，查询段的内部不与多边形的边界相交，并且查询段的端点，我们知道哪个多边形段或多个段包含该端点。

如果端点是多边形顶点，则有两种可能的情况。通过比较相对于顶点的角度和2D行列式测试，可以在恒定时间内区分这些。

Case 1: segment not in polygon

        \ query segment
         \
*<--------*<--------*
  polygon
  interior


Case 2: segment in polygon

*<--------*<--------*
  polygon  \
  interior  \ query segment

如果端点位于多边形线段的内部，那么就会进行类似的测试（假装那里有一个顶点）。

以下是角度测试的详细信息。翻译所有内容，使多边形顶点位于(0,0)。然后我们有

(e,f)     (0,0)     (c,d)
  *<--------*<--------*
    polygon  \
    interior  \ query segment
               *
             (a,b)

旋转（并缩放，而不是重要）所有内容，以便查询段位于x轴上。这是通过乘以矩阵

来实现的

[ a b]
[-b a]

获取新图

        * (ac+bd,ad-bc) = (p,q)
       /
      /
    |_     query
    *-----------* (a^2+b^2,0)
   /
  /
|_
* (ae+bf,af-be) = (r,s).

根据我们的退化假设，(p,q) != (0,0)。现在，(p,q)位于上半平面q>0 || (q==0 && p>0)。否则，它位于下半平面。同样适用于(r,s)。

如果(p,q)位于上半平面且(r,s)位于下半平面，则查询段位于内部。反之亦然，那就在外面。否则，这些点位于同一个半平面内。决定因素测试是ps-qr > 0（内部）还是ps-qr < 0（外部）。它不能相等，因为多边形很简单。

也许比我更了解情况的人可以从四分之一中降低这个测试的程度。

Answer 2

如果我理解你的问题，你试图区分以下两种情况：

AB完全在多边形
除端点外，AB完全在多边形

我们已经排除了AB部分位于多边形内部的情况，因为您已经测试过AB是否与每一侧相交。

在我看来，你的问题等同于询问AB的中点是否包含在多边形内。维基百科有一篇很好的文章描述了如何确定这一点：http://en.wikipedia.org/wiki/Point_in_polygon。如果你想让事情在数值上稳定，我建议采用绕数法。

找出段是否完全位于多边形内部

2 个答案: