Question

如果我有一个矩阵的上三角形部分，在对角线上方偏移，存储为线性数组，那么如何从数组的线性索引中提取矩阵元素的(i,j)索引？

例如，线性数组[a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9是矩阵的存储

0  a0  a1  a2  a3
0   0  a4  a5  a6
0   0   0  a7  a8
0   0   0   0  a9
0   0   0   0   0

我们想知道数组中的（i，j）索引对应于线性矩阵中的偏移量，没有递归。

合适的结果k2ij(int k, int n) -> (int, int)会满足，例如

k2ij(k=0, n=5) = (0, 1)
k2ij(k=1, n=5) = (0, 2)
k2ij(k=2, n=5) = (0, 3)
k2ij(k=3, n=5) = (0, 4)
k2ij(k=4, n=5) = (1, 2)
k2ij(k=5, n=5) = (1, 3)
 [etc]

Answer 1

从线性索引到(i,j)索引的等式是

i = n - 2 - floor(sqrt(-8*k + 4*n*(n-1)-7)/2.0 - 0.5)
j = k + i + 1 - n*(n-1)/2 + (n-i)*((n-i)-1)/2

从(i,j)索引到线性索引的逆操作是

k = (n*(n-1)/2) - (n-i)*((n-i)-1)/2 + j - i - 1

在Python中验证：

from numpy import triu_indices, sqrt
n = 10
for k in range(n*(n-1)/2):
    i = n - 2 - int(sqrt(-8*k + 4*n*(n-1)-7)/2.0 - 0.5)
    j = k + i + 1 - n*(n-1)/2 + (n-i)*((n-i)-1)/2
    assert np.triu_indices(n, k=1)[0][k] == i
    assert np.triu_indices(n, k=1)[1][k] == j

for i in range(n):
    for j in range(i+1, n):
        k = (n*(n-1)/2) - (n-i)*((n-i)-1)/2 + j - i - 1
        assert triu_indices(n, k=1)[0][k] == i
        assert triu_indices(n, k=1)[1][k] == j

Answer 2

首先，让我们以相反的顺序重新编号[k]。我们得到：

0  a9  a8  a7  a6
0   0  a5  a4  a3
0   0   0  a2  a1
0   0   0   0  a0
0   0   0   0   0

然后k2ij（k，n）将变为k2ij（n-k，n）。

现在，问题是，如何在这个新矩阵中计算k2ij（k，n）。序列0,2,5,9（对角元素的索引）对应于triangular numbers（减去1之后）：a [n - i，n + 1 - i] = Ti - 1. Ti = i *（ i + 1）/ 2，所以如果我们知道Ti，那么很容易解决这个等式并得到i（参见链接的wiki文章中的公式，＆＃34;三角形根和三角数的测试＆＃34; ）。如果k + 1不是一个三角形数字，公式仍会给你有用的结果：在将其向下舍入后，你将获得i的最高值，其中Ti <= k，这个值为i对应于行索引（从底部开始计数），其中a [k]位于其中。要获得列（从右计算），您应该简单地计算Ti的值并减去它：j = k + 1 - Ti。要明确的是，这些并不是你和你的问题，你需要＆＃34;翻转＆＃34;它们。

我没有写出确切的公式，但我希望你有了这个想法，现在在执行一些无聊但简单的计算之后找到它是微不足道的。

Answer 3

以下是matlab中的一个实现，它可以很容易地转移到另一种语言，如C ++。这里，我们假设矩阵的大小为m * m，ind是线性数组中的索引。唯一不同的是，在这里，我们按列计算矩阵列的下三角部分，这与您的情况类似（逐行计算上三角部分）。

function z= ind2lTra (ind, m)
  rvLinear = (m*(m-1))/2-ind;
  k = floor( (sqrt(1+8*rvLinear)-1)/2 );

  j= rvLinear - k*(k+1)/2;

  z=[m-j, m-(k+1)];

Answer 4

在python中：

def k2ij(k, n):
    rows = 0
    for t, cols in enumerate(xrange(n - 1, -1, -1)):
        rows += cols
        if k in xrange(rows):
            return (t, n - (rows - k))
    return None

Answer 5

对于记录，这是相同的功能，但使用基于一的索引，并且在 Julia 中：

function iuppert(k::Integer,n::Integer)
  i = n - 1 - floor(Int,sqrt(-8*k + 4*n*(n-1) + 1)/2 - 0.5)
  j = k + i + ( (n-i+1)*(n-i) - n*(n-1) )÷2
  return i, j
end

线性索引上三角矩阵

5 个答案: