Question

来自wiki，计算紊乱的方法是，

假设有n个人编号为1,2，...，n。让我们来吧   帽子也编号为1,2，...，n。我们必须找到方法的数量   没有人得到与他/她的号码相同号码的帽子。让我们   假设第一个人拿帽子我。有n - 1种方式   第一个做出这样选择的人。现在有两种可能性，   取决于我是否以帽子1作为回报：

我不戴帽子1.这个案子相当于解决   n - 1人和n - 1个帽子的问题：剩下的每个人    - 其余1人中有1人被禁止选择    - 1个帽子（我禁止的选择是帽子1）。       我戴帽子的人1.现在问题减少到n - 2人和n - 2帽子。

由此得出以下关系：

!n = (n - 1) (!(n-1) + !(n-2))

这里我不明白第二部分。我试着想出这样的问题，

NO.1：我是我，所以我不能戴帽子。所以我有n-1选项。这减少了n-1人的n-1帽子将成倍增加（n-1）次的问题。

但我无法理解递归调用的第二部分。从文章中，“我带帽子的人1”怎么样......？难道不是真的“我禁止的帽子是1”？那我怎么拿帽子1.否则，如果“我禁止的帽子不是1”那么它不会减少到1号吗？

所以我或多或少地无法理解递归调用的这一部分，

!n = (n - 1) (!(n-1) + !(n-2))
                       *******

Answer 1

为了清楚起见，我们可以调用紊乱函数f。在f(n)，有n个帽子和n个人。每个人都可以选择n-1个帽子。第1人从i选项中取出n-1个帽子。人i仍有n-1个帽子可供选择，其他人n-2必须选择（他们不能选择自己的帽子或i）。

现在我们需要两个i人的案例。把它想象成

人i采取帽子1
人i不接受帽子1，我们不知道他们将要采取什么行动

在案例2中，我们知道人i不接受帽子1，但仅此而已。以前我们知道那个人i有n-1个选择，现在他有n-2，就像其他人一样。这意味着我们可以为这种情况计算f（n-1）。在案例1中，不再禁止人i带帽子1.实质上，我们知道人i和人1已交换帽子而不再需要匹配，因此F（N-2）。

这两种情况都是可能的，所以我们有一个复发，它将（n-1）个选择乘以发生的可能性f(n) = (n-1)(f(n-1) + f(n-2))

Answer 2

有两个声明：

在N的紊乱之间存在双射，其中1-> i和i-> 1，以及N-2的紊乱。
在N的紊乱之间存在双射，其中1-> i和i-> j！= 1，并且N-1的紊乱。

第一个是显而易见的：一旦你从{1，...，n}的紊乱中删除了1-＆gt; i和i-＆gt; 1，你就会陌生化剩下的n-2项。相反，如果你有{2,3，...，i-1，i + 1，...，n}的紊乱，那么你可以把它变成{1，...的紊乱。。，n}通过添加映射1-＆gt; i和i-＆gt; 1。

第二个观察通过注意到如果你有{2，...，n}的紊乱，那么你可以通过添加地图1-＆gt将它变成{1，...，n}的紊乱;我和改变任何地图到我映射到1而不是。相反，如果你有{1，...，n}的紊乱，其中1-＆gt; i和我没有映射到1，那么你可以创建{2，...，n的紊乱通过删除1-＆gt; i映射，并将任何映射更改为1以映射到i。

这为您提供了一种计算紊乱的方法：

D（n）= sum（i = 2..n）（D（n-1）+ D（n-2））=（n-1）（D（n-1）+ D（n- 2））

计算紊乱

2 个答案: