Question

在JavaScript中，Math.cbrt(1728)会评估12的确切结果。

但是，看似等效的表达式Math.pow(1728, 1/3)的计算结果为11.999999999999998。

为什么这些结果的精确度不同？

Answer 1

前面的一些一般性评论：

正如本seminal paper所述，由于有限的精度和范围限制，浮点运算与实际数学有很大的不同（例如，缺乏相关性）数学上等价的表达式不是在浮点运算中进行求值时必须等效。
计算机语言的标准通常不保证任何标准数学函数的特殊精度或相同的误差范围在cbrt()或pow()之类的不同数学函数之间。但数学库为给定的数据提供正确的舍入结果精确存在，如 CRlibm

但是，在这种情况下，即使两个函数都针对所有输入正确舍入，cbrt(x)也会提供比pow(x,1.0/3.0)更准确的结果。

问题是1.0/3.0不能完全表示为浮点数，无论是二进制还是十进制。最接近三分之一的IEEE-754双精度数是3.3333333333333331e-1（或以C / C ++十六进制浮点格式表示时为0x1.5555555555555p-2）。相对代表性误差为-5.5511151231257827e-17（-0x1.0000000000000p-54），意味着1/3的最佳双精度表示略小于所需的数学值。

pow()的其中一个输入中的初始错误不仅传递到输出，而且由于取幂的误差放大属性而被放大。因此，即使pow(x,1.0/3.0)提供正确的舍入结果，pow()通常也会提供与所需多维数据集根相比过小的结果。对于问题中的示例，正确舍入的结果是

cbrt(1728.0)        = 1.2000000000000000e+1  (0x1.8000000000000p+3)
pow(1728.0,1.0/3.0) = 1.1999999999999998e+1  (0x1.7ffffffffffffp+3)

也就是说，pow()的结果比cbrt()的结果小ulp。对于幅度较大的论点，差异会大得多。例如，如果x为2 ¹⁰²²，则相应结果相差94 ulps：

x              = 4.4942328371557898e+307  (0x1.0000000000000p+1022)
cbrt(x)        = 3.5553731598732904e+102  (0x1.965fea53d6e3dp+340)
pow(x,1.0/3.0) = 3.5553731598732436e+102  (0x1.965fea53d6ddfp+340)

本例中pow()结果的相对误差为1.3108e-14，证明了上述相对误差的放大倍数。

出于准确性和性能的原因，实现cbrt()因此通常的数学库不会将cbrt(x)映射到pow(x,1.0/3.0)，而是使用替代计算方案。虽然实现方式不同，但常用的方法是从初始的低精度近似开始，然后是Halley's method的一个或几个具有立方收敛的步骤。

根据经验，当计算机语言同时提供专用立方根功能和一般取幂功能时，前者应优先于后者计算立方根。

为什么Math.cbrt（1728）产生的结果比Math.pow（1728,1 / 3）更准确？

1 个答案: