Question

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我正在编写一个代码，用于处理n度d的多项式 - x - 维变量c(alpha)，并遇到了其他人过去可能面临的问题。这样的多项式可以通过对应于x^alpha的系数alpha来表征，其中d是长度为d的多索引，指定必须提高n = 30变量的幂到。

维度和顺序是完全通用的，但在编译时是已知的，并且可以很容易地与d = 10和n + d choose n一样高，但可能不是在同一时间。在大多数系数都不为零的意义上，系数是密集的。

指定这样的多项式所需的系数数量为n^d，其在高维度上远小于可填充边长n的立方体的alpha系数。因此，在我的情况下，我必须相当紧凑地存储系数。这是有代价的，因为检索给定多索引d的系数需要知道它的位置。

问题

是否有（直接）函数将alpha维多指数(n + d) choose n映射到长度为{{1}}的数组中的位置？

Answer 1

可以在this wikipedia page找到一种众所周知的订购组合方式。很简单，您可以通过词汇顺序对组合进行排序，这样您就可以轻松计算较低组合的数量。可以在订购组合和组合的位置部分中找到解释。

预计算二项式系数将加快指数计算。

如果我们现在可以将每个单项式与组合相关联，我们可以使用上述方法有效地对它们进行排序。由于每个系数对应于这样的单项式，这将提供您正在寻找的答案。幸运的是，如果

alpha = (a[1], a[2], ..., a[d])

那么你要找的组合是

combination = (a[1] + 0, a[1] + a[2] + 1, ..., a[1] + a[2] + ... + a[d] + d - 1)

然后可以使用维基百科页面中的公式轻松计算索引。

Answer 2

更好，更面向对象的解决方案是创建Monomial和Polynomial类。 Polynomial类将封装Monomials集合。通过这种方式，您可以轻松地为病态案例建模，例如

y(x) = 1.0 + x^50

仅使用两个术语而不是51个。

另一个解决方案是地图/字典，其中键是指数，值是系数。对于我的病理案例，这只需要两个条目。如果您有C / C ++哈希映射，那么您就可以开展业务了。

就我个人而言，即使使用包含1000个术语的多项式，我也不认为使用数组是如此糟糕的天真方式。 RAM很便宜;那个数组不会让你失败。