Question

存在通式Z ^ N = A（Z）^ N + 1 + B（Z）^ N + 1。此公式用于将给定的递归函数转换回其原始显式形式：

递归公式：

1) R(0) = 1, R(n) = (1/3) R(n-1), n = 1, 2, ...
2) P(0) = 1, P(1) = 1/3, P(n) = (4/3) P(n-1) - (1/3) P(n-2), n = 2, 3, ...
3) Q(0) = 1, Q(1) = 1/3, Q(n) = (10/3) Q(n-1) - Q(n-2), n = 2, 3, ...

然后，它表明形式的“差异公式”：

2) P(n) = A(1/3^n) + B
3) Q(n) = A(1/3^n) + B * 3^n

代表一般解决方案。

然后将“差函数”替换为“递归函数”以获得A，B的根，这证明了递归函数确实是原始序列的表示{Xn} = {1/3 ^ n} = 1,1 / 3,1 / 9，......

我的问题是差异公式的来源？我很感激在任何主要教科书中提到这个主题，如微积分或数值方法，如Swokowski，Fink或Chapra。

Answer 1

这只是一些新生代数。让我们举个例子3：

Q(n+2) = (10/3)Q(n+1) + (-1)Q(n)
Q(n+1) = (   1)Q(n+1) + ( 0)Q(n)

第二个等式看似愚蠢，但它允许我们编写以下矩阵方程：

[ Q(n+2) ]  = [ 10/3  -1 ][ Q(n+1) ]
[ Q(n+1) ]  = [    1   0 ][   Q(n) ]

这是像v(n+1) = a*v(n)这样的复发的二维类比，它有一个简单的解v(n) = a^n * v(0)。我们可以将相同的逻辑应用于矩阵方程以获得：

[ Q(n+1) ] = [ 10/3  -1 ]^n [ 1/3 ]
[   Q(n) ] = [    1   0 ]   [   1 ]

让我们在中间调用2 x 2矩阵，我们将其提升到n次方A。现在我们如何快速计算平方矩阵的幂？当它们可以对角化时，它很容易。该2x2矩阵的特征值是其特征多项式的根：

det(A - xI) = (10/3 - x)(0 - x) - (1)(-1) = (x - 1/3)(x - 3)

这告诉我们有一些可逆的2 x 2矩阵P（由A的特征向量组成），这样：

[ Q(n+1) ] = P [ 1/3  0 ]^n P^-1 [ 1/3 ]
[   Q(n) ] =   [   0  3 ]        [   1 ]

所以：

[ Q(n+1) ] = P [ 1/3^n    0 ] P^-1 [ 1/3 ]
[   Q(n) ] =   [     0  3^n ]      [   1 ]

由此我们可以很容易地推导出一些常数a和b：

Q(n) = a(1/3^n) + b(3^n)

我们可以通过找到A的特征向量，构造矩阵P和P^-1，将这三个2 x 2矩阵与2 x 1向量相乘来明确地弄清楚它们是什么在右边，实际上从中提取Q(n)的表达式。但是，通过查看等式更容易，意识到它会产生Q(n) = a(1/3^n) + b(3^n)形式的某些内容，并且实际上只需通过后面的a和b来解决3'-取代。

将递归公式转换回原始显式公式？

1 个答案: