当地图被三角化时，4色问题是否容易出现？
出于调试目的，我想用尽可能少的颜色着色凸三维多面体表面的三角形（这样我就有很多清晰可辨的颜色可以用来着色特别感兴趣的三角形）。 / p> 4色定理指出4种颜色足以做到这一点，但我希望在表面被三角测量的附加条件下，算法将比一般情况更容易和更有效。
此外，在我的一些划痕示例中，我总是可以使用3种颜色。
答案 0 :(得分：3)
如果考虑四面体，则无法仅使用3种颜色为其面/三角形着色。因此，尺寸为3的三角形凸多面体的面可以用3种颜色着色是不正确的。但它恰好是唯一的反例！
实际上，您尝试着色的图形是立方（在每个面上放置一个顶点，并将其连接到三个相邻面），即每个顶点都有3度，它是也连接。因此，通过Brooks' theorem， K_4 的每个立方连通图可以用最多3种颜色着色。
编辑：
我在第一次阅读时没有注意到你也在寻找算法。我知道Brooks＆＃39;定理是建设性的，因此我们有一个算法来解决你的问题。
在多面体的双重图上使用Steinitz's theorem，我们得到了我们想要着色的图形始终是3连接的。这不是真的需要，因为证明适用于其他情况，但这是更简单的情况，所以让我坚持3连接的情况，因为它是你的情况。
取任意三个顶点 v_1 ， v_2 ， v_n ，使 v_n 与其他两个顶点相邻，但是 v_1 和 v_2 是不相邻的（对于完整的图形，这样的三元组不存在）。使用该图表是3连接的，很明显，如果我们删除 v_1 和 v_2 ，结果图仍然是连接的。
按照 v_3 ， v_4 ，...， v_n 的顺序排列剩余的顶点，以便每个 v_i < / em>存在 j ＆gt; i 使 v_i 和 v_j 相邻（这就像构建生成树一样，在Prim的算法中从开始v_n ）。在序列的开头放置 v_1 ， v_2 ，从而获得 v_1 ， v_2 ， v_3 < / em>，...， v_n 。
为 v_1 和 v_2 使用颜色1（这是有效的，因为它们不相邻）。现在按顺序为序列的其余部分贪婪地着色，即为每个顶点分配第一个有效颜色（第一个未分配给已着色的邻居）。对于 v_n 以外的每个顶点，我们都有一个＆＃34;右邻居＆＃34;，因此使用的颜色不超过3种。对于 v_n ，它也有效，因为 v_1 和 v_2 都有颜色1.现在我们有一个3颜色的图形，算法是线性的在图表的大小。