SciPy + Numpy：找到S形曲线的斜率

Question

我有一些遵循sigmoid分布的数据，如下图所示：

在对数据进行标准化和缩放后，我使用scipy.optimize.curve_fit和一些初始参数调整了底部的曲线：

popt, pcov = curve_fit(sigmoid_function, xdata, ydata, p0 = [0.05, 0.05, 0.05])
>>> print popt
[  2.82019932e+02  -1.90996563e-01   5.00000000e-02]

所以popt，根据the documentation，返回*“参数的最佳值，以便f（xdata， popt） - ydata的平方误差之和最小化”< / em>的。我在这里理解，没有用curve_fit计算斜率，因为我不认为这条平缓曲线的斜率是282，也不是负数。

然后我尝试使用scipy.optimize.leastsq，因为文档说它返回“解决方案（或不成功调用的最后一次迭代的结果）。”，所以我认为斜率将被退回。像这样：

p, cov, infodict, mesg, ier = leastsq(residuals, p_guess, args = (nxdata, nydata), full_output=True)
>>> print p
Param(x0=281.73193626250207, y0=-0.012731420027056234, c=1.0069006606656596, k=0.18836680131910222)

但同样，我没有得到我的预期。 curve_fit和leastsq返回了几乎相同的值，我猜这并不奇怪，因为curve_fit正在使用最小二乘法的实现来查找曲线。但没有斜坡......除非我忽略了什么。

那么，如何计算一个点的斜率，比如，X = 285和Y = 0.5？

我试图避免手动方法，例如calculating the derivative，例如，（285.5,0.55）和（284.5,0.45），并减去并除以结果等等。我想知道是否有更自动的方法。

谢谢大家！

编辑＃1

这是我的“sigmoid_function”，由curve_fit和leastsq方法使用：

def sigmoid_function(xdata, x0, k, p0): # p0 not used anymore, only its components (x0, k)
    # This function is called by two different methods: curve_fit and leastsq,
    # this last one through function "residuals". I don't know if it makes sense
    # to use a single function for two (somewhat similar) methods, but there 
    # it goes.

    # p0:
    #   + Is the initial parameter for scipy.optimize.curve_fit. 
    #   + For residuals calculation is left empty
    #   + It is initialized to [0.05, 0.05, 0.05]
    # x0:
    #   + Is the convergence parameter in X-axis and also the shift
    #   + It starts with 0.05 and ends up being around ~282 (days in a year)
    # k:
    #   + Set up either by curve_fit or leastsq
    #   + In least squares it is initially fixed at 0.5 and in curve_fit
    #   + to 0.05. Why? Just did this approach in two different ways and 
    #   + it seems it is working. 
    #   + But honestly, I have no clue on what it represents
    # xdata: 
    #   + Positions in X-axis. In this case from 240 to 365

# Finally I changed those parameters as suggested in the answer. 
# Sigmoid curve has 2 degrees of freedom, therefore, the initial 
# guess only needs to be this size. In this case, p0 = [282, 0.5]


    y = np.exp(-k*(xdata-x0)) / (1 + np.exp(-k*(xdata-x0)))
    return y

def residuals(p_guess, xdata, ydata):
    # For the residuals calculation, there is no need of setting up the initial parameters
    # After fixing the initial guess and sigmoid_function header, remove [] 
    # return ydata - sigmoid_function(xdata, p_guess[0], p_guess[1], [])
    return ydata - sigmoid_function(xdata, p_guess[0], p_guess[1], [])

如果我在描述参数或混淆技术术语时犯了错误，我很抱歉。我很笨，我多年没学过数学，所以我又回来了。

那么，再次，您对计算此数据集的X = 285，Y = 0.5（或多或少中间点）的斜率有何建议？谢谢！！

编辑＃2

感谢Oliver W.，我按照他的建议更新了我的代码并理解了问题。

我还没有完全掌握最后的细节。显然，curve_fit返回一个popt数组（x0，k），其中包含拟合的最佳参数：

• x0似乎是通过指示曲线的中心点来改变曲线
• k参数是y = 0.5时的斜率，也是曲线的中心（我想！）

为什么如果sigmoid函数是一个增长函数，popt中的导数/斜率是负的？它有意义吗？

我使用sigmoid_derivative来计算斜率，是的，我获得的结果与popt相同，但带有正号。

# Year 2003, 2005, 2007. Slope in midpoint.
k = [-0.1910, -0.2545, -0.2259] # Values coming from popt
slope = [0.1910, 0.2545, 0.2259] # Values coming from sigmoid_derivative function

我知道这有点高峰，因为我可以同时使用它们。相关数据在那里，但有负号，但我想知道为什么会发生这种情况。

因此，只有当我需要知道除y = 0.5 之外的其他点的斜率时，才需要按照您的建议计算导数函数。仅限中点，我可以使用popt。

感谢您的帮助，这为我节省了很多时间。 ： - ）

Answer 1

你永远不会使用你传递给sigmoid函数的参数p0。因此，曲线拟合不具有找到收敛的任何好的量度，因为它可以取该参数的任何值。你应该首先重写你的sigmoid函数：

def sigmoid_function(xdata, x0, k):

    y = np.exp(-k*(xdata-x0)) / (1 + np.exp(-k*(xdata-x0)))
    return y

这意味着你的模型（sigmoid）只有两个自由度。这将在popt：

中返回

initial_guess = [282, 1]  # (x0, k): at x0, the sigmoid reaches 50%, k is slope related
popt, pcov = curve_fit(sigmoid_function, xdata, ydata, p0=initial_guess)

现在popt将是一个元组（或2个值的数组），是最好的x0和k。

为了在任何一点得到这个函数的斜率，说实话，我只是象征性地计算导数，因为sigmoid不是那么难的函数。你最终会得到：

def sigmoid_derivative(x, x0, k):
    f = np.exp(-k*(x-x0))
    return -k / f

如果曲线拟合的结果存储在popt中，您可以轻松地将其传递给此函数：

print(sigmoid_derivative(285, *popt))

将返回x=285的衍生物。但是，因为你专门询问中点，所以当x==x0和y==.5时，你会看到（来自sigmoid_derivative）导数只有-k，可以立即观察到来自您已经获得的curve_fit输出。在您显示的输出中，大约是0.19。