大数量的因子分解

Question

在课堂上我们发现了这个编程问题，目前我们还不知道如何解决它。

  

给出正整数n。众所周知n = p * q，其中p和q是素数，p<=q和|q-k*p|<10^5对于某些给定的正整数k。您必须找到p和q。

输入：

35 1
121 1
1000730021 9

输出：

5 * 7
11 * 11
10007 * 100003

这不是家庭作业，我们只是想解决一些有趣的问题。如果您有一些想法，请在此发布，以便我们尝试一下，谢谢。

Answer 1

对于你在这里讨论的数字，最快的保理方法是（可能）使用Eratosthenes的Sieve来生成大约接近数字的平方根的素数，然后使用试验除法来找到哪个一个人是除数。

已经为更多的数字发明了相当多的保理方法。您可能希望Google使用“Fermat的保理方法”，“Pollard Rho”，“Brent方法”，“Lenstra椭圆曲线”，“多重多项式二次筛”和“通用数字筛”。我已经列出了（粗略地）复杂性的升序和能够考虑更大数字的能力。我们是否应该提及通用数字现场筛网是值得怀疑的 - 虽然它是目前已知的最有效的方法，因为它非常大，但它只适用于大型机器 - 大约110位左右，MPQS更快，但要考虑GNFS更快的大数字，你需要比典型的桌面或服务器可以支持更多的内存（想想一个TB的RAM作为最低起点，但可能更多）。 / p>

Answer 2

我使用ECM方法来计算大整数。它是已知最有效的算法之一。如果你想了解算法是如何工作的，那么你有很多阅读要做，但是如果你想用它来做你的研究，有些人已经实现了它。例如，您可以获得这些开源软件包：用于C / C ++的GMP-ECM或用于Python的Pyecm。

$ python
>>> import math
>>> import pyecm
>>> n = 1000730021
>>> list(pyecm.factors(n, False, False, 2 * math.log(math.log(n)), 1.0))
[10007, 100003]

Answer 3

n = p * q 
|q-k*p|<10^5

以n和k作为输入。因此

q-k*p=a 

带

-10^5<=a<=10^5

将q-k*p=a乘以q并将p*q替换为n给出

q^2-a*q-k*n=0

使用

解决每个a的二次方程

-10^5<=a<=10^5` 

并检查q是否划分n。 求解二次方程可以在多项式时间内完成，这对于求解2*10^5+1方程也是如此。对于n和k的小值，以及n和k的较大值，有更好的算法。

正如ypercube所提到的，人们只需检查方程式

a^2+4*k*n

是一个正方形。

Answer 4

n = p * q且| q-k * p | <10 ^ 5，其中n和k作为输入给出。因此q-k * p = a， 用-10 ^ 5 <= a <= 10 ^ 5 将q-k * p = a乘以q，将p * q代入n得到 C 1-4 2-A * Q-K * N = 0。 用-10 ^ 5＆lt; = a＆lt; = 10 ^ 5求解每个a的这个二次方程，并检查q是否除n。 求解二次方程可以在多项式时间内完成，这对于求解2 * 10 ^ 5 + 1方程也是如此。对于n和k

的小值，有更好的算法

p在intervall中

[(sqrt(k*n+2500000000)-50000)/k,(sqrt(k*n+2500000000)+50000)/k]

因此，您只能检查p的10 ^ 5 / k值。 q在intervall中

[sqrt(k*n+2500000000)-50000,sqrt(k*n+2500000000)+50000]

总是包含大约10 ^ 5个inegers

Answer 5

您可以使用http://qurancode.com中基于YAFU的基于GUI的版本来尝试更大的示例。 YAFU的主要好处是它的自适应特性，可以在分解时自动切换算法。使用Windows 7/8/10的GUI版本确实是最好，最轻松的方式。

只需单击红色心形包围的黄色PI符号：）