Question

这个问题是关于导致出现登录问题（如排序和搜索）的解决方案之间是否存在一些抽象的相似性。或者，更简单地说，为什么日志在算法复杂性中如此频繁出现？

Answer 1

当问题可以通过乘法因子反复减小时，通常会出现对数。根据定义，将问题缩小到恒定大小（例如，大小为1）需要一个对数步骤。

一个典型的例子就是重复消除一半的数据集，就像二进制搜索一样。这会带来O(log2(n))复杂性。一些排序算法通过将数据集重复分成两半来工作，因此在时间复杂度上也有一个对数项。

更一般地说，对数经常出现在divide-and-conquer递归关系的解决方案中。有关进一步的讨论，请参阅维基百科中的Master Theorem。

Answer 2

由于布尔逻辑，

log 在计算机科学中经常出现。所有内容都可以减少为 true vs false 或 1 vs 0 或是<或> 。如果你有一个if语句，你有一个选项，否则你有另一个选择。这可以应用于位（您有0或1）或高影响问题，但有一个决定。就像在现实生活中一样，当你做出决定时，如果你另有决定，你就不会关心可能发生的问题。这就是 log ₂（n）经常出现的原因。

然后，每个更复杂的情况（例如：从3个州选择一个可能的状态）可以减少到 log ₂（n） =＆gt;对数基数并不重要（常数不影响函数的趋势 - 它具有相同的程度）：

数学证明：

          loga(y)      1
logx(y) = ------- = -------- * loga(y) = constant * loga(y)
          loga(x)    loga(x)

程序员证明：

switch(a) { 
    case 1: ... ;
    case 2: ... ;
    ...
    default: ... ;
}

类似于：

if (a == 1) {  
    ...
} else {
    if ( a == 2 ) {
        ...
    }
    ...
}

（switch个选项k相当于k-1 if-else条，其中k =常数）

但为什么要记录？因为它是指数的倒数。在第一个决定时，你将大问题分成两部分。然后你只打破＆＃34;好＆＃34;一半分两部分等。

n      = n/2^0         // step 1
n/2    = n/2^1         // step 2
n/4    = n/2^2         // step 3
n/8    = n/2^3         // step 4
...
n/2^i  = n/2^i         // step i+1

问：有多少步骤？

A ：i + 1（从0到i）

因为当你找到想要的元素时它会停止（你可以采取其他决定）=＆gt; n = 2^i。如果我们应用对数，则基数为2：

log2(n) = log2(2^i)
log2(n) = i
=> i + 1 = log2(n) + 1

但是常数并不会影响复杂性=＆gt;你有〜 log ₂（n）步骤。

Answer 3

log在算法复杂性方面出现很多，特别是在递归算法中。

让我们以二进制搜索为例。

你有一个100个元素的排序数组A，你正在寻找数字15 ..

在二进制搜索中，您将查看中间元素（50）并将其与15进行比较..如果元素大于15，那么您会发现介于50和100之间的中间元素为75 ..并再次进行比较..如果15大于75处的元素那么你看75到100之间的元素是元素87 ...你继续这样做直到你找到元素或者直到没有更多的中间数...

每次使用这种检查中间数字的方法时，你将剩余的元素总数减少一半..

所以第一遍将给你O（n / 2）复杂度..下一遍将是O（n / 4）... O（n / 8）等等.. 为了表示这种模式，我们使用了日志..

因为我们正在减少搜索的元素数量，因为算法的每次传递都会成为日志库，因此二进制搜索将产生O（log2（n））复杂度

大多数算法都试图削减＆＃39;通过将原始数据分解为单独的部分来解决这些操作的次数尽可能少，这就是为什么日志经常出现的原因

为什么日志在算法复杂性中如此频繁出现？

3 个答案: