证明^ 2 -b ^ 2是偶数，a-b也是偶数

Question

如标题所述，我无法证明这一点。我一直试图使用矛盾的证据，我假设A ^ 2-B ^ 2是偶数，而A - B是奇数，并说明这是不真实的。不幸的是，我似乎无法解决这个问题。

我试过设置偶数表达式等于2x（暗示偶数）和奇数到2y + 1并求解。不幸的是我对此感到困惑。

使用任何方法的任何解决方案将不胜感激！

Answer 1

提示分解A^2-B^2 = (A - B) (A + B)。

这意味着如果A^2-B^2是偶数，那么(A - B) (A + B)是偶数。如果A-B是奇数，那么......

Answer 2

尝试四种可能性：A和B都是偶数，A是奇数，B是偶数，B是偶数，A是奇数，A和B都是奇数。

Answer 3

A ^ 2-B ^ 2 =（A + B）（A-B）=（C + 2B）C

其中C = A-B。但C和（C + 2B）具有相同的奇偶性。然后，如果A ^ 2-B ^ 2是偶数，那么C

Answer 4

我们只看一下每个案例：

• *如果a和b都是偶数，那么说a = 2n，b = 2m，那么ab是偶数，a²-b²=4n²-4m²= 4（n²-m²）因此a²-b²也是偶数（它可以除以4）。
• 如果a是偶数且b是奇数，则说a = 2n，b = 2m + 1，那么a²-b²是奇数，a²-b²=4n²-4m²+ 4m-1 = 4（n²-m²+ m ）-1是奇数。
• 如果a为奇数且b为偶数，则ab为奇数，则设a = 2n + 1，b = 2m，则a²-b²=4n²-4n +4m²+ 1 = 4（n²-n + m）+ 1这是一个奇数.ç
• 最后，如果两者都是奇数，那么让a = 2n + 1，b = 2m + 1。 a-b是偶数，2n + 1-2m-1 = 2（n-m）（偶数）。 a²-b²也是偶数，因为1s仍然相互抵消：a²-b²=4n²-4n +1-4m²+ 4m-1 = 4（n²-m²-n + m）是偶数。

这证明，在a²-b²为偶数的所有情况下（当a和b都是奇数或偶数时），a-b必须也是偶数。希望它有帮助:)