划分和征服计算根的方法

Question

知道我们可以使用Divide-and-Conquer算法来计算大指数，例如2 exp 100 = 2 exp(50) * 2 exp(50)，这是非常有效的，这种方法是否有效使用根？例如2 exp (1/100) = (2 exp(1/50)) exp(1/50)？

换句话说，我想知道(n exp(1/x)) (n exp(1/y)) x < y对{{1}}更高效，而x和y是整数。

Answer 1

当你有非整数指数时，我不认为使用分而治之的方法。我假设使用泰勒多项式将x ^ y计算为e ^（y ln（x））。您可以使用除法和征服计算y的整数部分，然后将其乘以实部。但是将它分成两部分是没有意义的。也：

2 exp（1/100）=（2 exp（1/50））exp（1/50）

事实并非如此。

（2 exp（1/50））exp（1/50）= 2 exp（1/50 + 1/50）= 2 * exp（1/25）！= 2 exp（1/100）

你会这样做：

2 exp（1/100）= 2 * exp（1/200）* exp（1/200）

Answer 2

由于x,y的浮点数exp(1/x)可能不比exp(1/y)更有效x<y。

但分而治之的算法就是

如果我们有类似exp(1/x)的内容，我们就不会再计算它，即我们将2^N划分为两个相同的较小尺寸问题2^(N/2) * 2^(N/2)，我们计算2^(N/2) 只有一次。

同样，exp(2/x)可以划分为exp(1/x)*exp(1/x)，我们只需计算一次exp(1/x)。这应该可以提高性能。

分母中较小的数字也应该有所帮助。

所以我认为这应该可行。