我的目标是求解满足[A] * [B] = [C]的矩阵[A]，其中[C]已知且[B]是随机生成的。以下是一个例子：
C=[1/3 1/3 1/3]'*[1/3 1/6 1/6 1/6 1/6];
B=rand(5,5);
A=C*pinv(B);
A*B=C_test;
norm(C-C_test);
ans =
4.6671e-16
这里[C_test]的元素在原始[C]的1e-15之内，但是当[B]的行少于列时，错误会急剧增加（不确定是norm（）是显示的最佳方式错误，但我认为它说明了问题）。例如：
B=rand(4,5);
A=C*pinv(B);
A*B=C_test;
norm(C-C_test);
ans =
0.0173
其他方法：
QR-分解
[Q,R,P]=qr(B);
A=((C*P)/R))*Q';
norm(C-A*B);
ans =
0.0173
/运营商
A=C/B;
norm(C-A*B);
ans =
0.0173
为什么会这样？在这两种情况下[B] * pinv（[B]）= [I]所以看起来该过程应该有效。 如果这是与pinv（）或其他方法相关的生命的数值或代数事实，是否有另一种方法可以生成[A]来满足等式？谢谢！
答案 0 :(得分：1)
由于C是3×5，因此C中的元素数量和方程数等于15.如果B是5×5，则未知数（A中的元素）等于3×5 = 15同样，解决方案也是准确的。
另一方面，如果B是例如3×5，则A中的元素数等于3×3 = 9，因此系统超定，这意味着得到的A将是最小二乘解
有关一般信息，请参阅维基百科：System of linear equations和Matlabs Overdetermined system。
得到的矩阵A是最合适的，没有办法改进（至少在正方形意义上）。
回答您的第二个问题：您通过将{2}规范应用于A*B来衡量C的质量作为A*B-C的近似值：这相当于最小二乘配件。在此度量中，您使用的所有方法都提供了最佳答案。
如果您更喜欢其他一些措施，例如1-norm，Infinity-norm或任何其他度量（例如通过为列，行或元素选择不同的权重），则从原始方法获得的答案将是对于这项新措施，当然不一定是最佳的。
最常用的方法是使用一些优化例程，如下所示：
x = fminunc(f, zeros(3*size(B,1),1));
A = reshape(x,3,size(B,1));
其中f是某种（任何）衡量标准。最小二乘的度量应该产生相同的A.所以如果你尝试这个：
f = @(x) norm(reshape(x,3,size(B,1))*B - C);
A应与您的方法中的结果相匹配。
但你可以在这里使用任何f。例如，尝试1-norm：
f = @(x) norm(reshape(x,3,size(B,1))*B - C, 1);
或者疯狂的事情：
f = @(x) sum(abs(reshape(x,3,size(B,1))*B - C)*[1 10 100 1000 10000]');
这将给出不同的结果，这些结果是根据新的度量f最优的。话虽如此，我会坚持最小的方格;）