Question

给定一个整数并在某个任意数字系统中重新表示。目的是找到数字系统的基础。例如，数字是10，表示是000010，那么基数应该是10.另一个例子：数字21表示是0010101然后基数是2.还有一个例子是：数字是6，表示os 10100然后base是sqrt（2）。有谁知道如何解决这个问题？

Answer 1

         ___
         \
number = /__ ( digit[i] * base ^ i )

您知道number，您知道所有digit[i]，您只需找出base。

是否简单或复杂地解决这个等式仍然是一种练习。

Answer 2

我不认为每个案件都能给出答案。我实际上有理由这样想！ =）

给定数字x，在基数b中使用表示a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1，找到基数意味着求解

a_6 b^5 + a_5 b^4 + a_4 b^3 + a_3 b^2 + a_2 b^1 + a_1 = x.

这不能一般地完成，如Abel and Ruffini所示。使用较短的数字可能会更幸运，但如果涉及的数字超过四位，则公式会越来越难看。

但是有很多很好的近似算法。请参阅here。

Answer 3

仅对整数来说，并不困难（我们可以枚举）。

让我们看看21及其代表10101。

1 * base^4 <= 21 < (1+1) * base^4

让我们为某些基数生成数字：

base   low   high
2      16    32
3      81    162

更一般地说，我们将N表示为Σa_i * base ⁱ。考虑I _I非空的最大功率，我们有：

a[I] * base^I <= N < (a[I] + 1) * base^I  # does not matter if not representable

# Isolate base term
N / (a[I] + 1) < base^I <= N / a[I]

# Ith root
Ithroot( N / (a[I] + 1) ) < base <= Ithroot( N / a[I] )

# Or as a range
base in ] Ithroot(N / (a[I] + 1)), Ithroot( N / a[I] ) ]

在整数基数的情况下，或者如果你有一个已知可能基数的列表，我怀疑他们会有很多可能性，所以我们可以尝试一下。

请注意，实际获取Ithroot的{{1}}并从此处迭代而不是计算第二个（应该足够接近）可能会更快...但我需要数学回顾那种直觉。

如果你真的没有任何想法（试图找到一个浮动基地）...我猜这有点困难，但你可以随后改进不等式（包括一个或两个以上的术语）属性。

Answer 4

这样的算法应该找到一个整数的基数，并且应该至少缩小非整数基数的选择：

让N成为你的整数，R成为神秘基地的代表。
找到R中的最大数字，并将其命名为r。
- 您知道您的基数至少为r + 1。
对于base == (r+1, r+2, ...)，让I代表基座R中解释的base
- 如果I等于N，那么base就是您的神秘基础。
- 如果I小于N，请尝试下一个基地。
- 如果I大于N，那么您的基数介于base - 1和base之间。

这是一种蛮力方法，但应该有效。如果base明显小于I，您也可以通过将N增加多个来加快速度。

其他可能有助于加快速度的事情，特别是在非整数基数的情况下：请记住，正如几个人所提到的，任意基数中的数字可以扩展为多项式，如

x = a[n]*base^n + a[n-1]*base^(n-1) + ... + a[2]*base^2 + a[1]*base + a[0]

在评估潜在基数时，您无需转换整个数字。首先只转换最大的术语a[n]*base^n。如果这大于x，那么您已经知道您的基数太大了。否则，一次添加一个术语（从最重要到最不重要）。这样，在您知道基础错误之后，您不会浪费时间计算术语。

此外，还有另一种消除潜在基础的快捷方法。请注意，您可以重新排列上面的多项式表达式并获取

(x - a[0]) = a[n]*base^n + a[n-1]*base^(n-1) + ... + a[2]*base^2 + a[1]*base

或

(x - a[0]) = (a[n]*base^(n-1) + a[n-1]*base^(n-2) + ... + a[2]*base + a[1])*base

您知道x和a[0]的值（“1”数字，无论基数如何，您都可以解释它）。这为您提供了(x - a[0])必须被base整除的额外条件（因为您的所有a[]值都是整数）。如果您计算(x - a[0]) % base并获得非零结果，那么base就不能成为正确的基础。

Answer 5

我不确定这是否可以有效解决。我只想尝试选择一个随机基数，看看给定基数是否结果更小，更大或等于数字。如果它较小，请选择较大的底座，以防较大的底座选择较小的底座，否则你就有了正确的底座。

Answer 6

这应该给你一个起点：

从数字和表示创建一个等式，数字42和代表“0010203”变为：

1 * base ^ 4 + 2 * base ^ 2 + 3 = 42

现在解决方程式以获得base的值。

Answer 7

我想你需要尝试并检查不同的基础。为了提高效率，您的起始基数可能是max（digit）+ 1，因为您知道它不会小于此值。如果这个太小，直到你超过，然后使用二进制搜索缩小它。这样，对于正常情况，您的算法应该在O（log n）中运行。

Answer 8

其他一些帖子表明，可以通过找到数字所代表的多项式的根来找到解。当然，这些通常是有效的，尽管它们会产生负面和复杂的基础以及正整数。

另一种方法是将其转换为整数规划问题，并使用分支绑定解决。

但我怀疑猜测和测试的建议会比任何更聪明的建议更快。

如何确定一个数字的基数？

8 个答案: