Question

据说，所有monad都可以使用Free来表达（如果这不是真的，那么反例和原因是什么）？如何使用the continuation monad或Free表达FreeT或其相应的变换器 - 相应的仿函数是什么？或者，如果他们不能，那是什么原因？

更新：通过表达我的意思是基本上与Free F 同构，其中F是一个仿函数我们＆＃39 ;重新寻找，例如Writer w与Free ((,) w)同构。

Answer 1

延续monad 是您正在寻找的反例。我没有足够的知识来提供完整的证明，但我会给你几个参考资料。

这个想法是monad有一个＆＃34; rank＆＃34;与他们相关联。＆＃34;秩＆＃34;粗略的意思提供monad全部功能所需的操作数。

我怀疑，除了延续派生的monad之外，我们在Haskell中处理的所有monad都具有排名，例如Identity，Maybe，State s，Either e，......，以及他们通过变形金刚的组合。例如，Identity由无操作生成，Maybe由Nothing，State s由get和put s以及{{1}生成Either e。（也许这表明它们实际上都具有有限等级，或者可能Left e计为每个put s的不同操作，因此s具有等级State s的大小，我不确定。）

免费monad肯定有排名，因为s由Free f编码的操作显式生成f。

以下是排名的技术定义，但它不是很有启发性：http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?aid=4759448

在这里，您可以看到延续monad没有等级的声明：http://www.cs.bham.ac.uk/~hxt/cw04/hyland.pdf。我不确定他们是如何证明这一点的，但其含义是延续monad不是由任何操作集合生成的，因此不能表示为（一个）免费monad的商。

希望有人可以过来整理我的技术细节，但这是你想要的证明结构。

Answer 2

见my answer to a question of yours from last year。让我们考虑一下r = Bool（或者更常见的是允许非平凡自同构的任何类型r）。

将m（最多为newtype包装器）定义为m :: (() -> Bool) -> Bool; m f = not (f ())。然后m非常重要，但m >> m是微不足道的。所以Cont Bool与自由monad不同构。

Haskell中的完整计算：

rwbarton@morphism:/tmp$ ghci
GHCi, version 7.8.3: http://www.haskell.org/ghc/  :? for help
Loading package ghc-prim ... linking ... done.
Loading package integer-gmp ... linking ... done.
Loading package base ... linking ... done.
Prelude> import Control.Monad.Cont
Prelude Control.Monad.Cont> let m :: Cont Bool (); m = ContT (\f -> fmap not (f ()))
Loading package transformers-0.3.0.0 ... linking ... done.
Prelude Control.Monad.Cont> runCont m (const False) -- m not trivial
True
Prelude Control.Monad.Cont> runCont (m >> m) (const False)
False
Prelude Control.Monad.Cont> runCont (m >> m) (const True) -- (m >> m) trivial
True

Answer 3

这里有几个小小的证据表明，Functor f并不存在，所有a :: *和m :: * -> * FreeT f m a等同于{{ 1}}使用ContT r m a的正常解释。

让FreeT使得没有实例m :: * -> *。由于Functor m，有一个实例instance Functor (ContT r m)。如果Functor (ConT r m)和ContT r相同，我们会期望FreeT f。但是，使用Functor (FreeT f m)，FreeT的常规解释，没有instance (Functor f, Functor m) => Functor (FreeT f m)实例，因为没有Functor (FreeT f m)实例。（我放宽了对Functor m的正常解释，从要求FreeT到只需要Monad m，因为它只使用Functor m。）

让liftM使得没有实例m :: * -> *。由于Monad m，有一个实例instance Monad (ContT r m)。如果Monad (ConT r m)和ContT r相同，我们会期望FreeT f。但是，使用Monad (FreeT f m)，FreeT的常规解释，没有instance (Functor f, Monad m) => Monad (FreeT f m)实例，因为没有Monad (FreeT f m)实例。

如果我们不想使用Monad m或Free的正常解释，我们可以拼凑出像FreeT或Cont r一样的怪物。例如，有一个ContT r，Functor (f r)使用Free (f r) a的异常解释，即Cont r a，可以等同于Free。

Answer 4

这是一个愚蠢的答案，表明你的问题和我之前的答案都需要工作。

Cont可以使用Free轻松表达：

import Control.Monad.Free
import Control.Monad.Trans.Cont

type Cont' r = Free (Cont r)

quotient :: Cont' r a -> Cont r a
quotient = retract

Cont是自由monad（当然）的（商）。所以现在你必须通过“表达”来准确地澄清你的意思。

如何使用免费monad表达延续monad？

4 个答案: