生成许多​​在儿童中分发玩具的方法之一

Question

• 有N个孩子和一组有限的可辨别玩具;
• 每个孩子喜欢所有玩具的特定子集T _i ;
• 每个孩子需要拥有一个确切的数字t _i ＆lt; = | T _i |玩具，但仅限于孩子喜欢的玩具;
• 一些玩具被一个以上的孩子所喜欢。
• 玩具不能由多个孩子拥有

。

可能有很多方法可以满足每个孩子对玩具的需求。

问题：鉴于N，{T _i }，{t _i }和种子RNG，来自所有可能的玩具配置我需要选择一个均匀分布（或至少接近均匀分布）的配置，即从孩子到他们拥有的玩具的映射。

生成所有可能的配置并选择j-th是不行的 - 可能会有很多这样的配置。

在下面的示例中，有4个孩子：红色，蓝色，绿色和黄色。红色需要拥有 4个玩具，蓝色 - 5，绿色 - 3，黄色 - 3.玩具儿童喜欢在相应颜色的矩形内。

所以我需要的是生成分布均匀的Map<Child, Set<Toy>>的算法大纲，或任何有助于解决问题的链接。

Answer 1

准备如下的二分图。对于每个孩子i，请设置t_i个顶点。对于每个玩具j，制作一个顶点。每当孩子i喜欢玩具j时，请将i的所有顶点连接到j的顶点。玩具对儿童的有效分配对应于此图中的完美匹配。使用您最喜欢的匹配算法（例如Hopcroft--Karp）计算一个作业，然后根据需要运行Jerrum and Sinclair的马尔可夫链。