Question

这个问题直接来自Cracking the Coding Interview, 4th Ed，所以我不是百分百肯定我可以在这里发布;如果没有，请告诉我，我会删除它。

问题5.7 ：

数组A [1..n]包含从0到n的所有整数，除了一个丢失的号码。在这个问题上，我们无法访问整个 A中的整数，只有一个操作。 A的元素是以二进制表示，是我们可以用来访问的唯一操作它们是“获取A [i]的第j位”，这需要恒定的时间。写用于查找缺少的整数的代码。你能在O（n）时间内完成吗？

我知道如何解决这个问题。我不明白的是她如何解决它。她的方法：

从最少的sig开始。
计算1和0的发生次数。
如果count（1）＆lt; count（0）=＆gt;丢失的数字有一个1，因为它是最小的sig位，否则它有一个0。
删除所有数字，其中sig位与步骤3中找到的结果不匹配。
重复步骤1-＆gt; 4，从最小sig位迭代 - ＆gt;第二个sig位 - ＆gt; ... - ＆gt;大多数sig位

当 n 的形式为（2 ^ m）-1 时，对于某些正 m ...我可以看到这种情况有效但是看不出它在一般情况下会如何起作用。

考虑二进制基数中的自然数。然后第i个最小sig位的序列如下：

0,1,0,1,0,1,0，... = {01} * = {（1）0（1）1} *
0,0,1,1,0,0,1,1，... = {0011} * = {（2）0（2）1} *
0,0,0,1,1,1,0,0,0，... = {000111} * = {（3）0（3）1} *

然后，对于某些 s ，大多数sig位具有一些序列{（s）0（s）1}。如果 n =（2 ^ m）-1 ，那么一切都很好;对于每个量级，＃1s =＃0，因此我们可以使用作者逻辑。但是，这在一般情况下如何运作？如果 n 是某个任意数字，则导致 n 的大多数sig位的序列如下所示：（s）0（s）1（s）0（s） 1 ...（k）1（显然序列必须以1作为大多数sig位结束）， k 可以是[0，s]中的任何数字。那么她的逻辑如何应用？（最值得注意的是，第3步假设＃0在通常情况下最多比＃1更多1）

谢谢，如果有人能对此有所了解！谢谢！

Answer 1

有三种可能性：

n是奇数，因此0位和1位的数量应该相同。它们不会，所以较低的数字显然是缺失的数字。
n是偶数，因此0位的数量应该比1位的数量大1。如果它们相等，那就是缺少0位。
如上所述，n是偶数。如果0位的数量比1位的数量大2，则1位是缺失的位。

通过删除已删除的所有数字，您现在再次以递归方式应用完全相同的问题。

Answer 2

我作为作业遇到了这个问题。尽管我知道讲师可能正在寻找更高级的东西，但我认为最简单的方法仍然可以在这里使用：即使您只能一点一点地访问整数，也可以在O(n) time中计算其总和。准确地说，只需阅读32 * n bits并进行数学计算即可。然后将您与n*(n+1)/2进行比较，然后您就会知道答案。

我想在这里提及的一件事是

这实际上不是O（n）算法，否则称为线性算法。它实际上是一个伪线性，因为您需要n * W运算，其中W是所有整数的平均长度（除非问题明确指出，否则不要总是假设它们具有32位）。 W独立于n，因此不能完全证明它是线性算法。

Answer 3

更改前面提到的xor解决方案。 bit0 = XOR所有数字的bit0都是0到N的所有bit0的数组和XOR simillarly找到bit1到bit31。然后结果是 bit0 | （bit1＆lt;＆lt; 1）...（bit31＆lt;＆lt; 31）我已经编写了一个数字测试代码，可以使用最多3位写入。期待我的工作。此代码可以扩展为32位int。如果这种方法有任何错误，请告诉我。感谢Poul在早期的解决中发现错误。

#include <stdio.h>

int main()
{

    unsigned int a[7] = {0,6,2,3,4,5,1};
    unsigned int bit0, bit1, bit2, missing,i;
    bit0 = getbit(a[0], 0);
    bit1 = getbit(a[0], 1);
    bit2 = getbit(a[0], 2);
    for (i=1 ; i <sizeof(a)/sizeof(unsigned int); i++)
     {
          bit0 ^= getbit(a[i],0) ;
          bit1 ^= getbit(a[i],1);
          bit2 ^= getbit(a[i],2);
     }
     for(i = 0; i <= sizeof(a)/sizeof(unsigned int); i++)
     {
          bit0 ^= getbit(i,0);
          bit1 ^= getbit(i,1);
          bit2 ^= getbit(i,2); 
     }

     missing  = bit0 | (bit1<<1) | bit2 << 2;
     printf("%u\n",missing);
    return 0;
}
int getbit(unsigned int x, unsigned int pos)
{
   return ( (x & (1 << pos)) >> pos) ;
}

在位数组中找到缺少的数字

3 个答案: